高等实分析

授课教师：沈舜麟

课程主页：2024Fall-AdvRA

Chapter 1: 测度论初步

• 半环-半代数-代数-σ代数
• 预测度-外测度-测度-测度完备化
• 单调类定理，Carathéodory定理，Carathéodory延拓定理
• 符号测度，Hahn分解，Jordan分解
• Radon-Nikodym导数

Chapter 2: 积分与微分

• Lebesgue积分的定义
• 单调收敛定理，Fatou引理，Lebesgue控制收敛定理
• 多重积分的定义，积分顺序交换
• Lebesgue微分定理
• 有界变差函数

Chapter 3: L^p空间

• L^p空间的定义
• 对偶空间
• 不等式：Holder不等式，Minkowski不等式，插值不等式
• 分布函数
• 紧性准则

Chapter 4: Radon测度

• Radon测度的定义
• Riesz表示定理

Chapter 5: Fourier分析基础

• 单位圆周上的Fourier分析
• 欧氏空间上的Fourier变换
• Schwar空间，缓增空间
• Littlewood-Paley理论
• Sobolev空间

Chapter 6: 分布理论

• 三种重要空间
• 分布以及分布的卷积
• 不同空间的关系
• 分布的Fourier变换以及相关应用

参考书目：
【1】Folland, G. B. (2013). Real analysis: modern techniques and their applications. John Wiley & Sons.
【2】严加安，测度论讲义 (2004).
【3】Rudin, W. (1987). Real and complex analysis. Tata McGraw-Hill Education.
【4】Stein, E. M., & Shakarchi, R. (2010). Real analysis: measure theory, integration, and Hilbert spaces. Princeton University Press.