Galois理论简介

本文分为两大部分，第一部分介绍域扩张，这是Galois理论的基础工具，第二部分简要介绍Galois理论的主要定理并给出一些具体例子。

域扩张

代数学的出发点是寻找求解代数方程的根，即尝试找到

的解，其中方程中的系数是给定的，通常位于某一域内。然而，如我们经常见到的那样，以中元素作为系数的方程的解不一定也在中，一个最简单的例子是。在这种情况下，一种自然的想法是放宽对解的要求，尝试在一个更大的域中寻找方程的解，这就引出了域扩张的概念：我们希望借助原本的域和给定的方程构造一个扩域，在中方程有解。

在给出域扩张的定义之前，首先回忆域的基本定义：如果非空集合上具有加法和乘法两种二元运算，满足以下条件：

对加法构成一个交换群，记作；
- 对加法封闭；
- 加法满足结合律：；
- 存在零元素：；
- 对于任意，存在逆元：。
- 加法满足交换律：；
中除了之外的元素对乘法构成一个交换群，记作；
- 对乘法封闭；
- 乘法满足结合律：；
- 存在单位元素：；
- 对于任意，存在逆元：；
- 乘法满足交换律：；
乘法对加法的分配律成立。
- ；
- ；

则称为一个域。定义等价于说是一个环，并且中除了之外的元素构成一个交换群。

下面开始介绍域扩张理论，首先给出域扩张的定义：如果两个域之间存在单同态

则称是的一个扩域，是的基域，是一个域扩张，此时借助单同态可以将嵌入到中，从而将视为的子域，因此之后我们默认将视为的子域。进一步，当是一个域扩张时，可以视作是一个-向量空间，其中基域充当标量域，中的元素可以进行-线性组合，并且满足如下线性空间的八条公理：

加法四公理：
1. 结合律：；
2. 交换律：；
3. 零元素：；
4. 逆元素：；
乘法两公理：
1. 结合律：，其中，；
2. 单位元：，其中；
乘法与加法满足两条分配律：
1. 乘法对加法分配：，其中，；
2. 加法对乘法分配：，其中，；

作为-线性空间的维数称为域扩张的维数，记作。当时，称该扩张是一个有限扩张，当时，称该扩张是一个无限扩张。

例1：有限扩张和无限扩张
，因为当把视作向量空间时，是它的一组基。相对地，，这可以从不可列而可列得到：如果有限，则存在一组有限的基，而有限个可列集的并依然可列，这与不可列矛盾。

自然地，当域扩张的维数只有1时，作为-线性空间的基只有单位元素，此时和是同构的，因为我们默认是的子域，因此通常直接写成。这种情况我们称是一个平凡扩张。

注意到连续进行两次域扩张相当于进行一次域扩张，即实际上等价于一次域扩张，这是因为如果设作为-线性空间的一组基为，作为-线性空间的一组基为时，可以验证是作为-线性空间的一组基，因此域扩张满足传递性，并且扩张的维数满足

不难将上述事实一般化，当是一系列域扩张时，是一个域扩张，且满足

例2：使用维数反过来刻画域扩张
当域扩张的维数是一个素数时，不存在非平凡中间域使得，即和都是非平凡域扩张。

由域扩张寻找多项式

虽然我们的目标是寻找合适的域扩张以求解某一多项式方程，但在这之前，不妨先考虑相反的问题：在给定域扩张时，得到的扩域与基域上的多项式之间有何关系。这一问题相比于原问题而言更加容易回答，更重要的是，我们将看到对这一问题的回答将有助于理解域扩张的性质。

先考虑一些典型的域扩张。一类最自然的进行域扩张的方法是直接向基域中添加新元素：假设我们已经有了相对于基域更大的一个域，从中可以挑选出一些不属于中的元素，通过将这些元素添加到内可以生成一个更大的域，以这种方式得到的扩域自然地是的子域，并且往往远小于自身。更严格的讲，如果域是的一个子域，是内的某一子集，则令为所有包含和的子域的交集，即

根据该定义，是包含和的最小的子域，并且其中的元素可以写为中元素的有限积的-线性组合的比值的形式。称扩域为在上由生成的子域。特别地，当是一个有限集时，记，其中的元素都形如

其中是上的多项式(属于)，并且。

现在考虑最简单的一种情况：。此时称为的一个单扩张。关于单扩张我们有比较完善的理论，其中最重要的是如下定理，它表明了单扩张（）与多项式（的极小多项式）之间的关系：

单扩张的刻画定理

给定域，是它的一个子域，，则如下两个命题有且仅有一个成立：

任意非零的都不是的零化多项式，即，此时
存在一个非零的是的零化多项式，即，此时
1. 存在唯一的首一不可约多项式满足，且任意使得的都可以被整除（），称为在上的极小多项式（“极小”指是最低阶的零化多项式）；
2. ；
3. （的阶数）。

在第二种情况中，多项式具有阶数这一非负量保证了的存在性，首一保证了唯一性，不可约性来自于阶数最低；第一条性质依赖于带余除法；第二条性质需要的不可约性（素性），当时，无法被整除，由于不可约，故，于是存在使得，于是；第三条性质只需注意到是视作-线性空间的一组基，因此是一个维数为的有限扩张。

如果满足上述定理中的第一种情况，则与同构，而因为在视作-线性空间时的维数是无穷的（互相线性无关），因此也是一个无限扩张，故称这样的给出的单扩张是单超越扩张，是上的一个超越元。相应地，在第二种情况下，是一个有限扩张，且具有一个唯一的极小多项式，因此称是一个单代数扩张，是上的一个代数元。特别地，当，时，如果在上代数，则称是一个代数数，否则称是一个超越数。

下面给出一些代数扩张和超越扩张的简单性质：

如果是上的一个单超越扩张，则；
如果单扩张的维数，则是一个单代数扩张；
给定域扩张和，如果在上代数，则在上也代数，即是一个单代数扩张（但是扩张维数可能不同，极小多项式也可能不同）；
如果是一个域扩张，记为中的所有在上的代数的元素的集合，则是的一个子域。（当考虑的是时，也记作，可列，从而代数数存在）。
给定域扩张，任意，都有。进而如果，相应地极小多项式分别为，则

并且

由多项式寻找域扩张

上一节中我们已经知道了当在上代数时，由可以找到一个唯一的首一不可约多项式，即它的极小多项式，现在回到原本的问题：给定基域和首一不可约的多项式，能否找到一个相应的使得恰好是它的极小多项式，进而由此构造出一个单代数扩张？此时我们没有一个额外的更大的域，因此不能直接从里选这样的，所以这一问题要比上一节中的问题更加困难：我们需要先找一个比稍大一些的域，再从其中选出合适的。不过，借助上一节的讨论，我们已经知道如果这样的存在且是的极小多项式时，并且，又因为现在能操作的只有域和多项式，所以一个自然的尝试是借助多项式环来构造扩域，并从中挑选出一个合适的。

因为是一个主理想整环，所以当是不可约多项式时是的极大理想，由此得到的商环是一个域，而且可以自然地视作是的一个扩域，事实上，因为作为多项式具有有限阶数，因此视作-线性空间时的阶数正好为，这启示我们在中寻找。从之前的单扩张的刻画中来看，在中的地位类似于里的未定元，因此自然可以尝试取

不难验证满足且是中次数最低的零化多项式，由此可知的极小多项式就是，并且借由得到的代数扩域实际上就是。至此我们成功地由上的一个首一不可约多项式诱导出一个上的单代数扩域，使得是其中的极小多项式。

然而这样的构造会引出一个新的问题：我们知道上述构造的是的一个根，但是当的阶数大于一时，它可以有很多的不同根，我们的究竟对应哪一个根呢，进一步地，得到的代数扩域是否随选取的的根不同而不同呢？

Galois理论

参考书目：
【1】Algebra with Galois Theory, Emil Artin
【2】Fields and Galois Theory, John M. Howie
【3】代数学Ⅱ—近世代数，欧阳毅