测度论

抽象积分可以视作函数在某一空间的区域上求和的极限，这一讨论的基础是对区域大小的测量，等价于考虑常值函数在区域上的积分值。因此，为了定义一般的积分，首先需要定义区域的大小，分析学中称该大小为区域的测度。

测度的定义

测度的一般构造方法为：

1. 首先在某一代数上定义预测度；
2. 将上述预测度延拓到代数上得到一个外测度；
3. 使用Carathéodory检验找出所有可测集；
4. 将外测度限制在可测集上得到测度。

在介绍这一过程之前，首先需要说明为什么必须绕这么一大圈子来定义测度，而不能像定义平面上的面积那样根据几何直观直接定义测度。

直观定义的失败以及测度定义的动机

准确地说，测度是一个集合函数。给定一个集合，一个测度是一个从的子集到实数的映射。数学上常常使用性质反过来定义概念，这里我们沿用这一传统。直观上来讲，测度应当具有以下性质：

1. 可列可加性：对于任意可数个两两不相交的集合，有。
2. 全等变换下保持不变：对于任意的平移、镜像、旋转变换，有。
3. 规则区域的测度符合直觉。例如对于单位正方形，上的测度满足。

不幸的是，具有如上三条性质的函数不是总对任意的都存在，如下经典的例子来自于[Real Analysis, Folland, P20]。

反例
考虑，在其上定义等价关系：如果，则。在该等价关系下的各等价类中各取出一个代表元构成(需要使用选择公理)。定义，于是是可列集。任给，定义

于是任意，存在唯一的使得（存在性显然，唯一性需要注意到如果，则是内两个等价的元素，而根据的构造，其内部的元素互相不等价，因此），如此一来，可以被分解为的不交并

如果存在满足之前三条性质的，则根据性质3，，根据性质1中的可列可加性

注意到之间只相差一个平移，故，所以根据性质2有

如果，则，如果，则，这两种情况都不可能发生，因此不存在满足之前三条性质的测度。

以上失败表明之前的三条性质太过苛刻，需要寻找一种相对宽松的定义，类似于在PDE中相对于古典解定义弱解。然而仔细思考可以发现，性质1中的可列可加性对于测度的连续性是必要的，事实上，只有当测度满足可列可加性而非仅仅有限可加时我们才能讨论集合列的极限的测度，这在定义一般的抽象积分时是不可或缺的，性质2和性质3又看起来是自然的要求，于是唯一可行的方案是放弃在的全体子集上定义测度，退而只在那些行为良好的子集上定义测度。下面我们沿着这一思路定义测度。

代数

按照上一节的分析，我们需要在的部分子集上定义测度，现在的问题是如何选取这些子集。首先，为了使最终得到的测度具有可列可加性，测度的定义域起码要对可列并封闭，否则在子集的可列并上测度可能根本没有定义，这时可列可加性也无从谈起；另外，我们希望一些最基本的集合，即空集和全集都应当有测度；最后，还希望如果一个集合有测度，那么其补集也应当有测度，这一要求可能来自于概率论：如果一个事件有概率，那么其对立事件也应当有概率。这些要求说明所需的集合至少应该是一个-代数：

1. 空集和全集：；
2. 补运算封闭：如果，则；
3. 可列并封闭：如果，则。

如上所述，测度需要在代数上定义，如果情况足够简单到我们可以处理全集的所有子集，即幂集内的所有集族，那么只需选取合适的代数即可在上面给出测度，但是大多数情况下我们起初只有一些具有稍弱性质的集族（可列并封闭是一个比较难以满足的条件），无法直接找到一个合适的代数，此时我们需要想办法使用这些只有较弱性质的集族生成代数以定义测度。

为了在一般情况下找到一个合适的代数，我们需要从一个更弱的结构出发。通常我们已有的集合可以满足如下足够弱的条件：

1. 空集：；
2. 交封闭（system）：如果，则；
3. 补封闭：如果，则。

我们称满足这些条件的集族为一个基础集族（elementary famliy）。上述条件本质上在说是一个半代数（semi algebra），它要求是半环，并且。这其中最核心的要求是半环的条件：如果满足

1. 空集：；
2. 交封闭（system）：如果，则；
3. 集合减法满足有限不交并：如果，则，即是内有限个互不相交集合的并。

则称为一个半环（semi ring）。是半环保证了其中的集合在减法后得到的集合可以使用重新组合，从而使得即使在不再是的元素时，它依然能借助内的集合表示较好地得到分析。另外，这一名字暗示通过添加合适的要求以及配备合适的运算，我们可以从半环出发得到一个代数意义下的环：如果我们将半环所要满足的三条要求中的后两条换为对集合减法以及并运算封闭，则此时得到的在集合的交运算（）和对称差运算（）下构成一个环，因此在分析学中往往直接称满足：

1. 空集：；
2. 减封闭：如果，则；
3. 并封闭：如果，则；

的集族为一个环（ring）。

使用作为半代数的基础集族可以生成一个代数：

扩张 如果是一个基础集族，i.e.半代数，则中的元素在有限不交并下得到的集族是一个代数

所谓代数，是指一个集族满足：

1. 空集：；
2. 补封闭：如果，则；
3. 并封闭：如果，则。

使用后两条性质可知在有限交下同样封闭。后续我们将看到在这一代数上可以自然地生成一个代数，从而定义测度。代数与环的区别在于是否包含全集。

注：

• 如果是一个环，则成为一个代数当且仅当全集；
• 如果是一个-环（对可列并封闭），则
  
  是上的一个-代数（注意到如果等价于，根据定义，所以，因此天然地对补运算封闭。特别地，令可得）；
• 如果是一个-环（对可列并封闭），则
  
  是上的一个-代数。

除了以上结构，在实分析中还有两个有用的代数概念：单调类和-系统。如果集族关于集合的单调极限封闭，即

则称是一个单调类。而当满足以下条件：

1. ；
2. 时，；
3. 时，；

称是一个-系统（-system）。以上结构可以帮助我们生成-代数。任给，记为生成的单调类（包含的最小单调类），为生成的-系统，为生成的-代数，则我们有如下重要的单调类定理 ：

Monotone Class Theorem

任给，则如下结论成立：

1. 如果 是一个代数，则；
2. 如果是一个-系统（交封闭），则。

以上是集合版本的单调性定理，一个经典的应用是借助它证明测度的唯一性定理。一些时候我们需要处理无限的情形，此时数学归纳法不再有效，需要换用超限归纳 ，在这个过程中往往会用到单调性定理。事实上，该定理也有类似的函数版本。

(函数版本)单调类定理：如果是一个包含的-系统，令为具有以下性质的函数构成的函数族：

1. 如果，则，其中是示性函数；
2. 如果，则；
3. 如果是一列非负函数，且，其中是一个有界函数，则；
   那么包含全体关于可测的有界函数。

(函数版本)单调类定理的作用： The monotone class theorem for functions can be a powerful tool that allows statements about particularly simple classes of functions to be generalized to arbitrary bounded and measurable functions. Eg: Fubini’s theorem.

预测度-外测度-测度-测度的完备化

假设我们已经有了合适的子集族，现在给出测度的严格定义：

测度：给定非空集合以及其上的一个-代数，如果集合函数满足：

1. 空集：；
2. 可列可加性：如果是一列互不相交的集合，则
   

则称是上的一个测度，内的元素称为可测集，三元组称为一个可测空间。

通常要让函数具有可列可加性并不容易，我们需要一步一步地构造满足以上条件的。

一个自然的想法是从简单的集合开始给定集合的测度，再使用这些简单的集合去覆盖一般的集合，不断紧化这一覆盖可以不断逼近该集合，从而将该覆盖的测度的极限作为这一一般集合的测度（因为需要使用到测度的极限，所以作为函数的测度必须具备某种连续性，基于这个原因测度需要具有可列可加性）。下面将这一思路严格化。

通常使用之前定义的基本集作为“简单集合”，它一般由一些规则区域组成，注意它只是一个半代数。在基本集上我们定义一个预测度，它满足：

1. 空集：；
2. 如果是内一列互相不交的集合，并且（半代数无法保证可列并封闭，因此必须考察该并集是否在内），则
   

借助预测度，我们可以给任意一个外测度：

这样得到的可以保证以及单调性：如果，则，但是只具有次可列可加性：

可列可加性不一定成立，所以外测度不满足测度的要求，外测度不是一个测度。一般地，称满足、单调性、以及次可列可加性的集合函数为外测度。

关于外测度的定义：一些著作(如[严加安，测度论讲义])中仅仅要求基本集族只是一个半环（有时甚至不加任何要求，只要求是一个集族），此时全集可能不再是的元素，而一个集合具有外测度首先需要可以被中的元素覆盖，故可能并不是中的任意集合都有外测度，这种情况下记全体具有外测度的集族为。另一种常见的情况是只要求以使得所有集合都有覆盖，不再要求具有半环结构。由此可见外测度的定义相当宽松。不过如果使用相对弱的定义形式，之后的Carathéodory定理和Carathéodory扩展定理必须添加额外的条件。为了使得论证最为自然，这里我们使用较强的定义形式。

外测度定义在的幂集上，现在我们需要借助它筛选出内足够好到可以定义测度的集合全体，这一步的关键是如下Carathéodory检验：

-measurable：给定上的一个外测度，如果满足对都满足

• Carathéodory检验：
  
  注意到外测度具有次可加性，所以为了使上式成立实际上只须要求对外测度有限，即，的都满足
  

则称是-可测的。

特别地，当时，，故上述条件等价于

这一要求类似于黎曼积分中的可积性条件，即黎曼积分的下积分与上积分相等：这里等式左端的相当于黎曼积分的上积分（外测度是覆盖的极限），右侧的相当于黎曼积分的下积分（从覆盖中减去外侧的部分只留下内部）。满足Carathéodory检验保证了是一个可以使用覆盖来近似的集合，这一性质使得我们可以在它上面定义测度。[Folland, Real Analysis, Ex. 19]是这一表述的严格化：

给定一个由有限预测度诱导出的外测度，可以对任意定义其内测度为则是-可测的当且仅当。

在此基础上，Carathéodory定理断言全体-可测集构成一个-代数，并且外测度在该-代数上的限制是一个真正的测度：

Carathéodory Theorem

如果是上的一个外测度，则由全体-可测集组成的集族是一个-代数，外测度在上的限制是一个完备测度。

其中测度是*完备*的是指具有任意零测集的子集仍然可测的性质，即如果且，则对任意，并且。事实上，任意不完备的测度都可以被完备化：首先我们将原本的可测集族扩充为 可以验证是一个-代数。接着定义 其中且，且。可以验证是一个测度，由它的定义可知具有完备性，且。称是的**完备化**，相应地，称为关于的完备化。具有完备性的测度使得我们在讨论抽象积分时可以不用担心零测集的问题，因此之后默认使用的所有测度都是完备的。

另外，如果我们的出发点不是作为半代数的基础集族，而是某一代数，并且与之前类似地在该代数上有预测度，该预测度仍然满足之前的两条性质：空集的项为零，以及当互不相交且时有

那么在这种更好的情况下我们能得到与之前相似但更强的结果。和之前一样，使用代数上的预测度同样可以得到上的一个外测度：

不同的是此时这一外测度可以视作是预测度的延拓：

1. ；
2. 任意都是-可测的。

由上述第二条性质和Carathéodory定理可知，这一外测度限制在由生成的-代数上是一个测度，即是上的测度。特别是当是-有限的（存在一列可测集使得并且）时，这一延拓是唯一的。这些里程碑式的事实统称为Carathéodory延拓定理：

Carathéodory Extension Theorem

给定内的一个代数，是上的一个预测度，是生成的-代数，那么

1. 存在一个上的测度满足；
2. 如果是另一个由上的预测度延拓得到的测度（满足），则对任意的，当时有，当时有；
3. 如果是-有限的，则是在上的唯一延拓。

该定理的一个更弱的形式见[严加安，测度论讲义，Th 1.4.7]：

Carathéodory延拓定理：设是上的一个半环，是上的任一可列可加的非负集合函数，则可以扩张成上的一个测度，并且当是-有限的(此处的-有限是指而非存在有限可列划分，因为可能无法被覆盖)，且(由内集合取有限并生成的集族，该条件即要求可以被覆盖)时，扩张得到的是唯一的，且这一测度在上的也是-有限的。
Remark：半环结构和保证可以用内的元素进行可列划分，即存在满足使得（是-有限的）。借助这一可列划分可以证明的唯一性。

Carathéodory延拓定理中要保证延拓的唯一性，的-有限性质不可缺少，事实上，我们可以构造如下实例[Folland, Real Analysis, Ex. 23]:

令，不难验证是上的一个代数，并且。在上定义预测度满足：如果非空，则，如果，则。这样定义的在上的延拓不唯一：注意到单点集满足，所以，可以验证由和定义的都是测度，且都是在上的延拓。事实上，由于在内的稠密性，任意由定义的都是在上的延拓。

测度的性质

这里我们给出测度的一些基本性质。如果是一个测度空间，则

1. 单调性：如果且，则；
2. 次可列可加性：对任意，有
   
3. 下连续性：如果满足，即且，则
   
4. 上连续性：如果满足，即且，，则
   

与测度类似，外测度根据定义本身就具有单调性和次可列可加性。另外，外测度和相应的测度之间存在紧密联系：

如果是上的一个外测度，是由限制在-可测集上得到的测度，则对任意，尽管它可能不可测，但其外测度可以使用可测集的测度来近似，即存在，使得且。

证明等价于说明

使用延拓定理的第一条性质和外测度的构造定义即可得到上式：由外测度的定义并注意到在上的限制为可得

另一方面，根据下确界的定义，任给都存在使得且。现在令，于是存在使得

令，于是

综上可知。

乘积测度

分析学中经常需要处理一些不平凡的高维空间，为了在这种空间中进行积分运算需要定义合适的测度。一般而言，高维空间可以视作两个较低维空间的笛卡尔积，所以一种常用的在高维空间中定义测度的方法是借助相应的两个低维空间中的测度来构造一个乘积测度，严格的来讲，给定两个测度空间和，我们希望在上定义一个测度，使得它在和上的限制分别为和。

按照之前的套路，首先需要找一族比较简单的集合作为基础集族，一个自然的想法是使用矩形集合，即形如的集合，其中且。注意到

所以可以验证这些矩形集合组成的集族是一个半代数，并且其中的矩形集合的有限不交并生成的集合族是一个代数，记由生成的-代数为。接着，在上定义一个预测度：

（约定）可以验证的良定性，即对于同一个矩形集合，不同的表示方式给出的预测度值是相同的，进而是上的一个预测度。接下来使用Carathéodory延拓定理就可以得到一个上的测度，称为和的乘积测度，也记做。

当和是-有限的时候，不难看出也是-有限的，此时由延拓定理可知是唯一的，并且对任意的矩形集合有。

上述构造可以被推广到有限个测度空间的情形，即给定个测度空间，可以在上定义一个测度，使得它在每个上的限制为。此时任意矩形集合的测度为。同样地，如果每个都是-有限的，则也是-有限的，此时延拓唯一。

下面考虑乘积测度空间上的函数和集合可测性。给定两个测度空间和，定义函数在处的截面为

类似地，定义它在处的截面为

对于集合而言做相同的操作，定义的-截面和-截面分别为

现在给出上的函数和集合可测的必要条件：

给定两个测度空间和，是上的函数，是一个集合，则

1. 如果，则对任意的，，以及对任意的，；
2. 如果是可测的，则对任意的，是可测的，以及对任意的，是可测的。

注：证明需要注意到以及。

Borel测度和Lebesgue测度

上最重要的一个测度就是Lebesgue测度，它是对应的Borel测度的完备化，我们以Lebesgue测度的构造作为上一节测度构造和延拓的一个实例。

根据上一节的分析，首先我们需要找一组合适的基础集族来生成测度的定义域。在上最自然的集合是区间，为了保证最终的测度具有上连续性，自然我们希望使用形如的集合作为基础集合，令，于是是一个半代数，它可以生成一个-代数，注意到因此包含所有形如的开区间，以及所有形如的半开区间。称如此生成的-代数为上的Borel-代数，记为，其中的集合称为Borel集。

依然沿用借助性质下定义的思路。为了给出Borel测度的定义，我们可以假设在上已经存在了某个测度，先来讨论这一测度必须满足何种性质，之后再看看这些性质是否足以反过来定义一个合适的测度。根据的构造，所有的区间都是Borel集，令

则是一个良定的函数。由于是非负的，因此是单调不减的非负函数，并且因为具有上连续性，于是

其中，因此是右连续的。现在我们将这一过程反过来：假设给定右连续且单调不减的，希望找到一个测度使得。按照上一节的讨论，要构造测度首先需要选取基础集族并在其上给定预测度。此处由于希望最终得到的测度定义在上，因此一个自然的选择是使用形如的集合作为基础集族，令

可以验证是上的一个半代数，于是其中的元素的有限并生成的是一个代数，并且该代数生成的-代数即为。现在我们在上定义一个预测度:

其中且当时。由于中的元素可以以不止一种方式表示为半开区间的不交有限并，因此需要验证的良定性。之后，根据测度构造的一般流程，可以由构造得到外测度，再由Carathéodory定理得到上的测度，这一测度即为关于的Borel测度，最后将Borel测度进行完备化就得到了Lebesgue-Stieltjes测度。由于任意测度都可以被完备化，我们通常将完备化过后的Lebesgue-Stieltjes测度也记做。特别地，当时构造得到的Lebesgue-Stieltjes测度称为Lebesgue测度，记作。我们将以上分析总结到如下命题中。

1. 给定任意单调不减的右连续函数，存在唯一的Borel测度使得任意都有
   
   另外，任意满足的其他函数都只与相差一个常数；
2. 反之，给定上的Borel测度，如果任意有界Borel集关于都是有限的，令
   
   则单调不减，并且右连续，由诱导出的Borel测度。

事实上，也使用左闭右开区间作为基本集族，但是相应地此时需要是左连续的不减函数。

正则性

本小节中不做特别说明时，一律视作由某单调不减的右连续函数诱导出的完备测度，即关于的Lebesgue-Stieltjes测度。由于定义的基础集族是上的半开区间，得益于特别良好的空间性质，具有一些相当好的性质，我们称这一性质为正则性。之后的Radon测度可以视作Lebesgue-Stieltjes测度的一种推广，要求在这种推广下可以保持测度的正则性。

正则性的第一处体现是的定义。在构造时，我们要求

其中使用的是形如的覆盖来近似可测集的测度，的正则性体现在这一要求可以被改为直接使用开区间的覆盖，即对于任意都有

上式的证明只需注意到可以被可列个左开右闭的半区间逼近即可。
除此之外，直接使用上面的结论可以发现，不光定义中使用的半区间可以替换成开区间，里的可测集都可以从外侧使用开集近似、从内部使用紧集近似：如果，则

这种可以从内部和外部分别使用开集和紧集近似的性质称作正则性。在上式基础上，我们可以更进一步，事实上，在相差一个零测集的意义下，具有类似正则性的子集实际上构成了可测集族本身，换句话来说，如下三条命题等价：

1. ；
2. 存在零测集和集，使得；
3. 存在零测集和集，使得。

另外，使用开区间覆盖版本的的定义可知

如果且，则任给，存在上有限个开区间的并集，使得。

几何不变性

下面我们特别考察一下Lebesgue测度的性质。首先，Lebesgue测度作为一种特殊的Lebesgue-Stieltjes测度自然具有上述正则性；除此之外，不难发现Lebesgue测度还额外具有几何不变性，即Lebesgue可测集的平移、旋转和镜像变换

都仍然可测，并且有，，。另外，对于放缩，我们有

一般的Lebesgue-Stieltjes测度不具有以上性质。

最后，按照乘积测度理论可以在上定义一般的维Lebesgue测度。上述正则性和几何不变性对于维Lebesgue测度同样成立。

符号测度

现在我们放宽对于测度的要求，不再要求测度是非负的，这样得到的测度称为符号测度，称之前讨论的测度为正测度。

符号测度：给定可测空间，如果存在函数满足

1. ；
2. 至多取到和之一；
3. 可列可加性：对任意的互不相交的可列集族都有
   
   并且当时，绝对收敛；

则称是上的符号测度。

可以验证符号测度也具有与正测度类似的向上和向下连续性，即如果是内一列上升的可测集列，则

而如果是内一列下降的可测集列，且，则

尽管上面已经给出了符号测度的定义，但是现在不妨来思考一下为什么需要引入符号测度，而不能像处理一个符号不确定的函数那样，简单地将符号测度分解为两个正测度之差来分别考虑。下面简要介绍一些可能的动机：

首先，稍后将介绍的重要的Reisz表示定理的一般形式依赖于符号测度的引入。假定是测度空间上的一个非负的可测函数，那么定义了一个正测度，然而在更一般的情形下，希望处理的只是一个可积的函数，它的符号可能是不确定的，这种情况下得到的就是一个符号测度。我们甚至可以将这一结果推广到复测度上：如果是复值的可积函数，那么定义了一个复测度。Reisz表示定理的强大之处在于它指出合适的情况下有界线性泛函都具有上述积分的形式。粗略地来讲，Reisz表示定理表明局部紧的Housdorff空间上的线性泛函关于无穷范数有界当且仅当存在正则的复Borel测度使得

由此可知，引入符号测度和复测度的一大优势是让我们可以使用测度表示更广泛的函数类。（参见更多讨论 ）

另外，(有限)符号测度可以视作是一般的向量测度 的一种特例，从这个角度来看的话(有限)符号测度要比正测度更加自然。（参考来源 ）

最后，不能直接将分成两个正测度的原因在于一般情况下的分解不像函数那样简单，事实上，要将分解为两个正测度本身就是一件相当不平凡的事，首先需要将全集进行分解（可能不唯一），之后才能谈测度的分解，而且需要额外的条件才能保证分解的唯一性。下一小节将详细讨论符号测度的分解。

不难给出两类符号测度的例子：

1. 如果和是两个正测度，并且至少其中之一是有限的，则是一个符号测度；
2. 如果是一个正测度，是关于可积的，并且至少和之一是有限的（称这样的是广义可积的），则
   
   是一个符号测度。

本节的目标是说明任意一个符号测度都可以视作上述两类例子之一的特例。

符号测度的分解定理

这一小节基于之前两类例子中蕴含的第一种观点，即测度分解，希望将给定的符号测度分解为两个正测度的差。首先需要给出一些定义。给定可测空间，如果可测集的任意可测子集的测度都非负，即

则称是一个正集合(positive set)，类似地，可以定义负集合和零集合。显然，正集合的任意可测子集都还是正集合，并且可列个正集合的并集仍然是正集合。

因为符号测度本质上只是一个实值的集合函数，仿照处理一般函数的思路，自然地我们希望考察某种类似于和的对象从而将函数分解为，进而可以通过分别处理和来间接地分析。为了实现这一想法，需要先分析上述对于一般函数的操作可行的原因。按照定义

当可测时，是一个可测集，于是得到的也是可测的，所以首先这一操作保持了可测性。另外，可以视作将限制在上，这一操作依赖于存在一个最大的取值非负的集合。现在我们将这些分析移植到测度函数上，如果要对做类似的分解，第一步同样需要找一个“最大”的测度为非负的集合，这里所谓的最大是指其任意子集都测度非负（即是一个正集合），并且关于集合包含关系是极大的。这种极大性启发我们使用Zorn引理寻找该集合。

为了使用Zorn引理，现在我们在中正集合全体组成的集族内定义一个偏序关系：给定，称当且仅当。进一步，考察的任意子集族，要求关于偏序关系构成一个全序集（任意，要么，要么），注意到

是这一任意选取的全序子集的一个上界，因此根据Zorn引理可知，中存在极大元，于是是中的一个最大的正集合。

Zorn’s Lemma：如果是一个偏序集，它的每一个全序子集都有上界，则中存在极大元。

现在我们断言是一个负集合，证明需要使用反证法：假设不是负集合，那么存在使得，考察包含的全序子集可知这与的极大性矛盾。以上分析给出了如下Hahn分解定理。

The Hahn Decomposition Theorem

如果是可测空间上的一个符号测度，则分别存在关于的一个正集合和一个负集合使得 另外，如果是满足如上要求的另一对集合，则。

定理中的和称作符号测度的一个Hahn分解。上述定理的证明其实可以不依赖Zorn引理[如Folland,Real Analysis,Th 3.3]，上面只是展示一种更加简洁有趣的证明方法。另外，上述定理中的分解往往不是唯一的，例如任意选取一个零测集，则和也是符号测度的一个Hahn分解。

Hahn分解定理成功地将全集分成了正集合和负集合，现在我们要基于此将符号测度分解为两个正测度之差，但在此之前，必须注意需要避免可能出现的无穷减无穷的情况，通常的解决方案是要求分解得到的两个正测度是正交的。这里测度正交是指，给定上的两个正测度和，存在使得

记作。我们将发现要求分解的测度正交不仅避免了的危险，而且将赋予测度分解的唯一性。

分解的存在性是比较容易看出的：首先设的一个Hahn分解为，则任给，定义

于是，并且和是互相正交的，这一正交性相应的集合分解即为的Hahn分解。

下面说明正交性保证了上述分解的唯一性。如果存在另一对互相正交的正测度和使得，设和的正交性对应的集合分解为和，则也是的一个Hahn分解，根据Hahn分解定理可知是-零测集，于是任意都有

类似地，我们有，因此，，分解的唯一性得证。

综合上面的讨论，就得到了如下Jordan分解定理。

The Jordan Decomposition Theorem

如果是可测空间上的一个符号测度，则存在唯一的一对正测度和使得

上述定理中的和分别称作的正变分(positive variation)和负变分(negative variation)。称作符号测度的Jordan分解。的总变分（total variation）定义为

可以验证如下两个事实：

1. 是的零测集当且仅当；
2. 当且仅当，当且仅当且。

事实上，在本小节的测度分解基础上，我们已经可以将写成积分的形式：设是的一个Hahn分解，是的相应Jordan分解，则

其中和分别是和的特征函数。此即之前提到的第二种观点：将符号测度视作某一积分泛函。下面我们将沿另一条路径讨论这一观点。

测度视作积分泛函

这一小节使用第二种观点：任给符号测度和正测度，希望找到一个关于可积的函数使得可以表示为关于的积分泛函，即

其中的称为相应的Radon-Nikodym导数，也记做。上一小节最后的表示

中，依赖于，而本小节我们希望任意给定的(可能与无关的)正测度都可以找到相应的使得可以由和表示。事实上，在这样宽泛的条件下不一定存在，但是在合适的条件下，通过将进行分解，可以将的可被的部分写成我们想要的形式。要严格地讨论这一问题，我们需要引入绝对连续的概念。而要看到绝对连续的来源，我们需要反向思考上述问题：如果给定正测度，任给关于可积的函数，则由此可以定义符号测度，注意到如果，则以这种方式得到的。我们将这一性质抽离出来，得到如下定义：

绝对连续：给定可测空间上的符号测度和正测度，如果对于任意的可测集，都有，则称是关于绝对连续的，记为。

上述定义可以被推广到也是符号测度的情形，此时如果，则称是关于绝对连续的。

不难验证当且仅当，当且仅当且。另外，如果的同时有，则。由此可见，某种程度上绝对连续是测度正交的对立面，它表示了测度之间的一种相关性。事实上，绝对连续这一术语的命名正是来源于这种相关性：

如果是可测空间上的一个有限的符号测度（符号测度的有限是指相应的全变差作为正测度是有限的），是同一空间中的一个正测度，那么当且仅当对任意，存在使得对任意，只要，就有。这一性质可以视作测度相对于的绝对连续性的一种等价表述。

上述命题的证明依赖于测度自身的向上和向下连续性，由定义得到原始定义是平凡的，另一侧的证明需要使用反证法。作为该命题的一个应用，现在对使用上述结论，注意到当时，是有限的，于是可知任给，存在使得对任意，只要，就有。

至此，我们可以给出本节的主要定理——Lebesgue-Radon-Nikodym定理：

The Lebesgue-Radon-Nikodym Theorem

给定可测空间上的一个-有限的符号测度和一个-有限的正测度，则存在唯一的一对-有限的符号测度使得 此外，存在关于广义可积的函数使得 并且任意满足如上关系的函数都是关于几乎处处相等的。

该定理中的分解称作关于的Lebesgue分解。这一定理的一个直接推论是，当时，关于的Lebesgue分解是平凡的，即，，于是由定理的结论可知存在关于广义可积的函数使得

这一关系常被简记为定理中的，称作关于的Radon-Nikodym导数。这一推论也称为Radon-Nikodym定理。

在给出定理的证明之前，首先介绍一些Radon-Nikodym导数的性质，这些性质是概率论中的重要工具，同时也充分展示了Lebesgue-Radon-Nikodym定理的强大之处。首先Radon-Nikodym导数具有线性性，即

另外给定有限的符号测度以及正测度和，满足和，则有

1. （变量替换）如果，则，并且
   
2. （链式法则），并且
   
   自然地，如果且，则我们有
   
   除此之外，如果都是上的正测度，则存在使得。

事实上，常见的Dirac 函数现在可以被视作是一个特殊的Radon-Nikodym导数，相应的为上的Lebesgue测度，为处的单点测度，即

则和都是可测空间上的正测度，并且

最后我们给出Lebesgue-Radon-Nikodym定理的证明的一些要点，详细证明参见[Folland,Real Analysis,Th 3.8]。这一证明遵循分析学的一般流程：首先处理简单的对象，再说明复杂的对象可以使用简单的对象组合而成，最后将结论推广到一般情形。

Step 1: 要求和都是有限的正测度。考察如下函数族：

显然，于是非空。另外，如果，令，记，则任意都有

于是。现在令

下面借助来构造定理中需要的广义可积函数。根据上确界的定义，存在一列使得。令，则且，而且同样有。再令，则。现在使用单调收敛定理可知

并且几乎处处有限。于是可以定义一个新的测度，也即。不难证明（说明这一点需要一个技术性的引理[Folland,Real Analysis,Lem 3.7]：如果和都是上的有限正测度，则要么，要么存在和使得是关于的一个正集合。后一种情况在这里不可能出现，于是）。这样我们就证明了、以及的存在性。至于唯一性的证明只是例行公事，设是另一种分解，则。因为而和都与正交，于是我们有，于是，。

Step 2: 将要求放宽为和都是有限的正测度。这种情况下可以被分别以两种方式分成可列个不交的各自关于和测度有限的集合的并集，通过两两取交可以得到一列关于和都测度有限的互不相交的集合，记为，这列集合的并集为。现在我们将和限制在这些有限集合上，即令

显然和都是有限的正测度，根据第一步中的分析可知存在和使得，其中。因为根据定义，所以

于是在上的值可以被设为。现在令

我们有，其中，并且其中与都是有限的。

Step 3: 最后考虑一般的是符号测度的情形，只需借助上一小节的结论，分别考察和并根据上一步的分析得到对应的分解，最后将两部分的分解相减即可。

由于上述证明依赖于与的有限性，因此定理中的有限性是必要的。

参考书目：
【1】Folland, G. B. (1999). Real analysis: modern techniques and their applications. John Wiley & Sons.
【2】严加安，测度论讲义 (2004).
【3】Rudin, W. (1987). Real and complex analysis. Tata McGraw-Hill Education.
【4】Stein, E. M., & Shakarchi, R. (2010). Real analysis: measure theory, integration, and Hilbert spaces. Princeton University Press.