模论初步

本文只给出一些重要概念和定理的简要说明。

泛性质

在代数中通常使用泛性质（universal property）来定义直和、直积、张量积等概念，这种定义方式形如“存在唯一的态射使得……成立”，使用这种方式的好处一方面在于可以让我们研究一类足够普遍的对象，这些对象在同构的意义下是相同的，另一方面可以避免引入不必要的结构，这在证明有关结论时非常有用。

直积与直和

Direct Product

给定R-模和和某一三元组，其中，，如果关于任意的R-mod和、都存在唯一的使得下图交换，则称是和的（外）直积，记作。

直积

Direct Sum

给定R-模和和某一三元组，其中，，如果关于任意的R-mod和、都存在唯一的使得下图交换，则称是和的（内）直和，记作。

直和

使用直积和直和对应的泛性质可以证明以上述方式定义的直积与直和在同构意义下分别都是唯一的（但是任给两个模，它们的直和或者直积可能不存在），即给定和，满足直和要求的泛性质的-模互相同构，满足直积要求的泛性质的-模互相同构。因此根据惯例，通常会直接使用经典的直和定义，即当且时，称它们的直和存在并且其中的元素都形如，其中，，此时构造两个嵌入映射和

于是可以验证满足直和的泛性质，从而其他的直和定义得到的模与这样得到的同构，所以我们通常直接使用这种定义。同理，模的直积的定义也可以直接挪用直积的经典定义，即令是由形如的元素组成的一个-模，其中，，称它为和的直积，此时可以构造两个投影映射和

同样可以验证满足直积的泛性质，因此我们通常直接使用这种方式，将直积中的元素记成笛卡尔积的形式。

又因为可以验证按照上面这种经典方法定义的直积满足直和的泛性质，即下图成立：

直积满足直和的泛性质

其中的是如下定义的嵌入映射

因此根据之前的泛性质刻画可知有限个模的直积和直和是同构的，所以我们经常也会把直和中的元素记成笛卡尔积的形式。

需要注意的是，上述等价性只在有限个模的情况下成立，无限个模的直和和直积一般而言是不同的。严格地说，给定-模集合，数组称为的直和是指对于任意的模同态族，都存在唯一的同态使得

而数组称为的直积是指对于任意的模同态族，都存在唯一的同态使得

与有限个模的情况类似，任意个模的直和或直积如果存在，则一定在同构意义下是唯一的。经典的直积表示是如下笛卡尔积的形式

相应的典范投射为

而直和的典范表示是如下有限支持的形式

相应的典范嵌入为

所以此时只能说直和是直积的一个子模。

关于直和的一个常用的结论是

在后续的分析中我们会需要判断的子模是否是的一个直和项，即是否存在子模使得，一个关键的判断准则是如下命题：

命题 子模是模的直和项当且仅当存在-模同态使得。

张量积

现在我们来介绍模的张量积。给定两个-模，现在我们一步步构造它们的张量积：
Step 1. 将和视作集合（忽略代数结构）做笛卡尔积，并以得到的集合中的元素作为基来生成自由模，记该自由模为，其中的元素是形如的有限和，即

Step 2. 构造如下的子模：

于是即为由形如 ，，以及的元素生成的的子模。这一步的目的是为了之后构造商模，保证商模中的元素都具有双线性。

Step 3. 构造如下同态

我们记为，元素记为，称为和的张量积，于是内元素都是单张量积的有限和。值得注意的是，根据的构造，，因此内的同一元素可能有不同的表示。

Step 4. 验证是双线性映射。得益于的特殊构造不难看出

Step 5. 泛性质。首先注意到如下图所示，如果存在一个双线性映射，则该映射诱导了一个唯一的同态使得（这里的是从到的生成映射），而我们又有典范映射，因此又诱导了一个唯一的同态满足。

所以总的来说，我们得到了一个使得如下图交换的同态，即对于任意的双线性映射，都存在唯一的同态使得。

张量积的泛性质

我们将如上性质作为刻画张量积的泛性质：如果对于任意的双线性映射，都存在唯一的同态使得，则称是和的张量积，记作，它也可以视作是由单张量集合生成的-模，进而诱导映射可以写作

特别地，一个简单但是重要的例子是自身作为-模与的张量积，即，在这种情况下乘映射是一个自然的双线性映射，因此自然地诱导了同态，可以证明这个同态是一个同构，因此

使用张量积的泛性质不难证明以下结论：

1. 张量积的顺序可以交换：；
2. 直和与张量积可以交换：；
3. 任给-模，函子是R-mod上的右正合协变函子，于是任意正合列都诱导了一条新的正合列
   
   其中，；
4. 如果是-模，是的理想，则
   
   这一事实在之后的有限生成模的结构定理中会用到。

如果给定模同态和，可以定义它们的张量积为

上述映射使得如下图表交换：

模同态的张量积

乘积与上乘积

乘积与上乘积是模范畴下直积和直和概念在一般范畴上的推广。这里先简单给出范畴的概念。

Category

一个范畴(Category)意指一个数学系统，它具有如下资料：

• Obj()：其中的元素称为的对象（Object）；
• Mor()：其中的元素称为的态射（Morphism），配上一对映射 其中和分别给出态射的来源和目标。对于，一般记为从到的态射集合，简记为；
• 任意对象都有一个恒等态射；
• 任意三个对象，它们之间的合成映射为 当不会发生混淆时，通常将简记为。这一合成满足：
  • 两两不交性：与交集非空当且仅当且；
  • 结合律成立：任意态射，如果和都有定义，则
  • 存在单位元：对于任意，有

常见的范畴包括集合范畴、拓扑空间范畴、群范畴、环范畴和模范畴等。其中一类比较特殊的范畴是以态射作为对象的范畴：首先给定范畴，令是中的一固定对象，于是可以构造一个新的范畴，其中的对象是中的态射，内的态射集为

即中的态射是中使得下图交换的态射：

范畴

对于范畴中的态射，同构的定义与一般的模范畴中有所不同，一般地，对于态射，如果存在态射使得

则称是一个同构，是的逆，也称和同构。

另外，给定一个范畴，可以定义它的反范畴：内的对象与相同，但是中的态射集为

即中的态射是中的态射。

在范畴中可能存在几个特殊的对象值得我们特别注意。如果对象满足对于任意对象，都存在唯一的态射，则称是一个始对象。如果对象满足对于任意对象，都存在唯一的态射，则称是一个终对象。如果对象既是始对象又是终对象，则称是一个零对象，记作0。可以证明，始对象和终对象如果存在，则在同构意义下一定是唯一的；范畴中的始对象和终对象分别是中的终对象和始对象；最后，是范畴中的终对象。

Product

设是范畴，和是中的对象，和的乘积是指三元组，其中是中的对象，和是中的态射，常称作投射，满足如下泛性质：对于任意的由对象和态射和组成的三元组，都存在唯一的态射使得下图交换

范畴中对象的乘积（对应于模的直积）

Coproduct

设是范畴，和是中的对象，和的上乘积是指三元组，其中是中的对象，和是中的态射，常称作内射，满足如下泛性质：对于任意的由对象和态射和组成的三元组，都存在唯一的态射使得下图交换

范畴中对象的上乘积（对应于模的直和）

关于乘积和上乘积的唯一性，直接使用泛性质就可以说明它们在同构意义下是唯一的，这里另外给出一种更高级的证明方法，借助了始对象和终对象的唯一性。给定范畴，固定其中的两个对象。如果令以三元组为对象，其中是中的对象，和是中的态射，则仿照范畴的构造，要求中的态射是使得下图交换的中的态射，则可以验证确实构成一个范畴，并且是范畴的一个终对象。因为终对象在同构意义下唯一，所以也在同构意义下唯一。

乘积的唯一性

类似地，在同样给定和其中两个对象的情况下，令以为对象，其中仍然是中的对象，和是中的态射，要求中的态射是使得下图交换的中的态射，则同样可以验证构成一个范畴，并且可以说明是范畴的一个始对象。因为始对象在同构意义下唯一，所以也在同构意义下唯一。

上乘积的唯一性

最后，与模范畴中的直积直和类似，也可以在一般的范畴里的对任意多个对象定义乘积和上乘积。

推出与拉回

给定范畴以及其中的一个对象，有两种非常重要的借助态射构造新的对象的方式分别称为推出和拉回。

Pullback (Fibered Product)

态射和的拉回，或纤维积，是指三元组，其中，且，满足如下泛性质：对于满足的任意的都存在唯一的态射使得 即下图交换。

和的拉回

Pushout (Fibered Coproduct)

态射和的推出，或纤维上积、纤维和，是指三元组，其中，且，满足如下泛性质：对于满足的任意的都存在唯一的态射使得 即下图交换。

和的推出

在模范畴下，我们可以给出推出和拉回的具体定义：设和都是模同态，则在R-mod中和的拉回为

相应地，设和都是模同态，则在R-mod中和的推出为

在这种特殊情况下，如果和是满射，则拉回得到的也都是满射；如果和是单射，则推出得到的也都是单射。

类似地，在群范畴中，如果和都是群同态，则和的拉回为

函子

函子是与范畴相对应的概念，它建立起了范畴之间的联系，所以尽管函子的定义不借助泛性质，但是为了介绍的完整性起见，本文依然选择将它放在了这一节里。

Functor

一个函子(Functor)是一个从范畴到范畴的映射，满足

1. 对于任意中的对象，它在下的像是中的对象；
2. 对于中的任意态射，它在下的像是中的态射并且可以进行适当的合成（协变或者逆变）；
3. 对于中的任意对象，；

根据与的方向是否相同可以进一步可以将函子分为协变函子和逆变函子：

• 如果对于中的任意态射和，都有和，以及则称是一个协变函子(covariant functor)；
• 如果对于中的任意态射和，都有和，以及则称是一个逆变函子(contravariant functor)。

一个著名的函子是忘却函子，它将一个范畴中的对象映射到另一个范畴中的对象，态射映射到态射，但是忘却了原范畴中的结构。在模范畴中，忘却函子将一个模映射到它的基集合，将模同态映射到基同态。另外比较常见的函子是恒等函子和常函子，恒等函子将一个范畴映射到自身，常函子将一个范畴映射到一个固定的对象。

几类重要的模

自由模

Free Module

如果非零模内存在子集使得且中的元素互相-线性无关，则称是一个自由模，称为的一组基。称的基数为的秩，记作。

如果是的一组基，那么中的任意元素都可以唯一地表示为如下有限-线性组合的形式

自由模有如下本质刻画：

1. 设是以为基的自由模，是任意-模，是中的一组元素，则存在唯一的-模同态使得；特别地，当也是自由模且是的一组基时，是一个同构；
2. 设是以为基的自由模，则
   
3. 自由模的秩不依赖于基的选择；特别地，秩相同的自由模同构。
4. 如果是的一个理想，是一个自由模，则是的子模，并且
   
   是-自由模，它的一组基是。

其中类似于的记号表明我们将该模视作直和的形式，其中的元素是的有限和，而则表示使用直积形式，其中元素形如是-元组。

必须注意的是，自由模与有限生成模是互不包含的，例如考虑如下两个例子：

• 作为-模是一个有限生成模，但不是自由模；（由生成，但是不是线性无关的：）
• 作为-模是一个自由模，但不是有限生成模。（一组基是，其中是仅第个分量非零的笛卡尔积，它显然不是有限生成的）

根据定义，自由模要求生成集合内的元素互相线性无关但对生成集的大小没有要求，与之对应，有限生成模仅仅要求存在有限的生成集，而不要求生成集内的元素线性无关。

任意模都可视作自由模的商模，这是因为任给，考虑由生成的自由模

于是可以构造满同态

特别地，有限生成模可视作有限秩自由模的商模：如果

则生成的自由模为

相应的满同态为

注意到当线性无关时，上述映射的核为零，于是映射是同构，从而是自由模，由此可见如果有限生成模的生成集是线性无关的，则它是一个自由模。

此外，自由模是投射模和平坦模。

投射模

Projective Module

如果模关于任意满同态，都存在模同态的一个提升使得，即如下图表交换，则称是一个投射模。

投射模

投射模有如下重要的等价刻画：

定理 是投射模当且仅当如下等价条件之一成立：

1. 任意正合列都分裂；

   
   由投射模定义推导第一条等价刻画

2. 是某自由模的直和项，即存在自由模和模使得；（由刻画一推导刻画二只需注意到如下正合列分裂，其中是由生成的自由模，是满射
   
   由刻画二推导投射模定义主要使用一个事实：如果是投射模，那么是投射模。如果该事实成立，鉴于刻画二告诉我们自由模是投射模，因此是投射模，进而是投射模。前述事实的证明依赖于如下交换图表）

   
   由等价刻画二推导投射模定义

3. 函子:是正合函子。

根据第二条刻画可知所有自由模都是投射模。

另一个有用的等价刻画是如下命题：

命题 是投射模当且仅当存在集合以及模同态使得

1. 对于任意的，只有有限个非零；
2. 任意的都可以表示为
   
   并且此时由生成。

这一命题的充分性证明需要使用到上面定理的第二条等价刻画，故需要说明是某自由模的直和项，鉴于这一证明方式很有代表性，因此在这里给出一个简要的说明。

Proof. 首先说明必要性。如果是投射模，那么存在自由模和模使得，进而根据直和的泛性质，存在满同态，使用作为投射模的性质，可以找到模同态使得。任给，设是在自由模中的唯一-线性表示，于是可以定义

则

其中，因此由生成，所以必要性成立。
接着考虑充分性。给定，考虑自由模，构造

和

于是。这一方面说明是单射（反证），进而；另一方面说明

并且在上的限制是恒同映射。根据之前给出的直和项的等价刻画可知是的直和项，所以充分性也成立。

另一个著名的有关投射模的结论是Schanuel引理：

Schanuel引理 给定正合列

其中和是投射模，则

该引理的证明依赖于如下交换图表，其中

是和的拉回。

Schanuel引理

内射模

Injective Module

如果模关于任意单同态，都存在模同态的一个延拓使得，即如下图表交换，则称是一个内射模。

内射模

内射模有如下重要的等价刻画：

定理 是内射模当且仅当如下等价条件之一成立：

1. 任意正合列都分裂；
   
   由内射模定义推导第一条等价刻画(左) 由第一条等价刻画推导内射模定义(右，是推出)
2. 函子:是正合函子。

另外，如果内射模是另一模的子模，则是的直和项。根据上面的第二条刻画可知内射模的任意直积仍然是内射模，进而可知内射模的有限直和仍然是内射模。

判断一个模是否是内射模最常用的方法是Baer判别法：

Baer判别法 是内射模当且仅当对的任意理想，模同态都可以延拓为上的模同态，满足。

使用Baer判别法可以证明整环的分式域是投射-模：对于任意的中理想，如果是一个-模同态，那么对于任意有，所以存在使得

于是可以验证

是在上的一个延拓。

设是整环，考虑-模，如果任给和，都存在使得，则称是一个可除模。

显然整环的分式域是一个可除模。可除模的直和以及商模仍然是可除模。进一步地，上的任意线性空间都是可除模。

命题 当是整环时，上的内射模都是可除的。特别地，如果是PID，则是可除模当且仅当是内射模。

平坦模

Flat Module

如果给定任意正合列，由-模诱导的 也是正合列，则称是一个平坦模。

对于一般的模，函子只是一个右正合协变函子，即它只能保证由

导出的复形右侧

是正合的。换言之，如果是满射，则也一定是满射，然而当是单射时，却不一定是单射。平坦模的定义要求由平坦模诱导的可以继承的单射性。

根据以上分析，平坦模有如下等价刻画：

定理 是平坦模当且仅当如下等价条件之一成立：

1. 函子:是正合函子；
2. 如果是单同态，则也是单同态；

下面我们给出一些平坦模的关键性质：

1. 是平坦模；（）
2. 设是直和，则是平坦模当且仅当对于任意，都是平坦模；特别地，所有自由模都是平坦模，平坦模的直和项也是平坦模；
3. 投射模是平坦模；(投射模都是自由模的直和项)

其中第二条性质依赖于下述观察：因为直和与张量积可以交换，即

于是要求

是单同态等价于要求

是单同态，进而也等价于其中的每个分映射都是单同态。

最后给出一个类似于Baer判别法的平坦模判定准则：

平坦模判定 是平坦模当且仅当关于的任意理想都有成立。

上述定理的证明需要下面的引理：

引理 以下事实成立

1. 若对于的任意子模，是单同态，则对于任意的和，映射和都是单同态。这里都是的子模，都是的商模。
2. 若对于任意的以及均有是单同态，则对于所有的有是单同态。

基变换

给定交换环之间的一个环同态，我们有如下观察：

1. 可以视作一个-模，相应的乘法是由诱导的乘法；
2. 任给-模，借助上一条观察可知作为-模可以与进行张量积得到，该张量积可以视作一个-模，其中的乘由以下过程给出：
   1. 任给和，可以定义双线性映射
      
   2. 作为张量积(-模)的泛性质可知存在唯一的模同态
      
   3. 以上映射诱导出乘运算
      

基变换

通常记这样得到的-模为。特别地，当是的某理想，时，与之间存在典范同态，此时我们有如下事实：

1. ；
2. 可以视作-模，从而也可以视作-模。

特别地，当是交换幺环而是它的极大理想时，根据环的对应定理有

因此此时是域上的模，从而是一个-向量空间。尤其值得注意的是在PID上任意素理想都是极大理想，因此当是由的某素元生成的素理想时，是一个域上的向量空间，于是可以考察它作为线性空间的维数，又因为依然是一个模，所以可以继续上面的操作考察作为-向量空间的维数。在考虑PID上有限生成模的结构 时需要使用这一观察，在那里将借助从到时维数的变化来逐步确定的结构。

课程笔记

课程笔记	主要内容
Lecture 1	模的定义与例子，子模，模同态
Lecture 2	模同构，商模，同态基本定理，循环模，单模，合成列
Lecture 3	直积与直和，泛性质
Lecture 4	复形，正合列，短正合列，长正合列
Lecture 5	蛇形引理，范畴，态射
Lecture 6	积，余积，拉回，推出，加法范畴
Lecture 7	投射模
Lecture 8	内射模
Lecture 9	张量积
Lecture 10	平坦模
Lecture 11	基变换，扭模
Lecture 12	PID上有限生成模的结构1
Lecture 13	PID上有限生成模的结构2
Lecture 14	Smith 标准形

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参考书目：
【1】代数学Ⅲ——代数学进阶，欧阳毅