Basic theory of Chebyshev Polynomials

"Chebyshev polynomials are everywhere dense in numerical analysis."

40年以来有关Chebyshev多项式的出版物数量（数据来自Web of Science，截止到2024年10月1日）

本文的主要内容来自于参考书目(1)：J.C. Mason, D.C. Handscomb, Chebyshev Polynomials, Chapman & Hall/CRC 的前4章。介绍Chebyshev多项式的基本理论，包括定义，性质，以及在逼近理论中的基本应用。

定义

通常意义下，Chebyshev多项式一共包括四类多项式，分别记为 , , , ，依次称作第一类，第二类，第三类，第四类Chebyshev多项式。这些多项式的性质各有差异，应用场景也不尽相同，其中，第一类Chebyshev多项式 与其他三类Chebyshev多项式关系密切，并且各种性质的形式通常最为简单，因此是最常使用的一类Chebyshev多项式；第二类Chebyshev多项式 常在数值积分中使用；第三类Chebyshev多项式 与第四类Chebyshev多项式 可以用于解决一些特殊的问题，例如在区间端点处含有极点的奇异积分问题。这一节首先介绍这四类多项式的基本定义（），给出它们的递推关系，建立四类Chebyshev多项式之间的联系，并介绍位移Chebyshev多项式 , , , ，最后将定义域扩展到复数域（），定义一般的Chebyshev多项式。

第一类Chebyshev多项式

First kind Chebyshev Polynomial

第一类Chebyshev多项式 是定义在区间 上的一个 阶多项式，其定义如下：

注意到我们有积化和差公式

将 的定义带入上式可以得到第一类Chebyshev多项式的递推关系

起始的两个多项式为

使用这一递推关系，我们可以得到前六个第一类Chebyshev多项式的图像如下：

前六个第一类Chebyshev多项式的图像

另外，基于上述递推关系和起始条件，不难证明以下这些性质：

1. 奇偶性: 在 为奇数时是奇函数， 为偶数时是偶函数，这一性质使得我们可以在后续的一些应用中先各自处理奇数项和偶数项，最后再将它们合并起来以简化分析。
2. 首项系数: 的首项系数为 。
3. 极值分布: 在 上的最大值和最小值分别为 和 ，且在 上至少有 个交替的最大值和最小值点，这其中包含 内的 个极值点以及两个非极值点的端点 。因此 是一种等幅振荡的多项式，这种等幅振荡特性使得它在最优逼近问题中有着重要的应用。

我们将稍后详细介绍这些性质。

第二类Chebyshev多项式

第二类Chebyshev多项式 的定义与第一类Chebyshev多项式 相似但不同。

Second kind Chebyshev Polynomial

第二类Chebyshev多项式 是定义在区间 上的一个 阶多项式，其定义如下：

使用另一个和差化积公式

可得到第二类Chebyshev多项式的递推关系

起始的两个多项式为

因此前两类的Chebyshev多项式的递推关系完全相同，只是起始的两个多项式不同，所以这两类多项式自然有非常多的相似性，不过在一些方面会存在一些细微的差异，例如：

1. 奇偶性: 在 为奇数时是奇函数， 为偶数时是偶函数。
2. 首项系数: 的首项系数为 。
3. 极值分布: 在 不再具有等幅振荡特性，通常最值在区间端点处取得，内部 个极值点。

下面给出前六个第二类Chebyshev多项式的图像：

前六个第二类Chebyshev多项式的图像

第三、四类Chebyshev多项式 和

剩下的两类Chebyshev多项式 和 的定义如下：

Third and Fourth kind Chebyshev Polynomial

第三类Chebyshev多项式 是定义在区间 上的一个 阶多项式，其定义如下： 第四类Chebyshev多项式 是定义在区间 上的一个 阶多项式，其定义如下：

这两类多项式的递推关系可以类似地由和差化积公式

以及

给出，与之前的两类Chebyshev多项式相同， 和 同样满足

的递推关系，其中 ，只是起始条件变为

由此我们可以画出前六个第三类和第四类Chebyshev多项式的图像：

前六个第三类和第四类Chebyshev多项式的图像

另外，这两类多项式也可以视作 Jacobi 多项式的 在 时的特例，即

这其中 Jacobi 多项式 的定义为

Chebyshev多项式的另一种重要的推广是超球多项式(Ultraspherical polynomials)，或称为Gegenbauer多项式，这类多项式关于权函数正交，当时，超球多项式退化为Legendre多项式，而当时退化为第二类Chebyshev多项式。超球多项式作为正交多项式满足如下三项递推关系：

起始项为

这类多项式在快速谱方法中有重要应用[Olver, Townsond 2013]。

转化与联系

第一个结论需要先使用二倍角公式引入两个新的变量

其中仍然使用，于是根据Chebyshev多项式的定义可得

以及

又因为和满足相同的三项递推关系，而且初始的两项满足如下平均关系

于是递推关系的线性性保证了这一平均关系在任意处都成立，即

这一关系事实上也可以直接由三角函数的积化和差公式得到：

另一方面，注意到

两侧同时除以可得

因为在为偶数时是偶函数，在为奇数时是奇函数，所以由上述关系可知

最后一个重要的关系是

上述关系可以通过递推关系和初始条件直接验证。

位移Chebyshev多项式

通常在需要处理的问题中，感兴趣的区间不一定是，因此有必要在一般的区间定义Chebyshev多项式，一般地，这些多项式可以通过对自变量进行线性变换得到，因此称为位移Chebyshev多项式。当区间为时，使用如下线性变换

其中，相应的。

这其中，最常见的位移多项式是上的Chebyshev多项式，此时，相应的多项式记为，，，。其中满足

递推关系变为

前两项为，。其他三个类似。在这种情况下的一个重要结论是

也即，这一关系建立了和之间的联系。类似地有

以及

复数域上的Chebyshev多项式

性质

零点与极点

幂函数

基本运算

求和

乘积

积分

导数

小结

逼近理论

最佳逼近

Alternation Theorem for Polynomials

任意给定 ，在 范数下都存在唯一的多项式 是 在 内的最佳逼近，并且 当且仅当 满足“交替条件”：在 上至少存在 点，使得 在这些点处绝对值达到最大，并且符号交替改变。

正交性

最小二乘

小结

参考书目和文献

【1】 J.C. Mason, D.C. Handscomb, Chebyshev Polynomials, Chapman & Hall/CRC, 2003.
【2】 Trefethen L.N. Approximation Theory and Approximation Practice. SIAM, 2013.
【3】 Boyd J.P. Chebyshev and Fourier Spectral Methods. Dover Publications, 2001.
【4】 Sheehan Olver and Alex Townsond. A fast and well-conditioned spectral method, 2013