积分与微分

这一篇文章主要目标是介绍一般测度空间中的积分理论和微分理论。在未特别说明的情况下，本文中的测度均使用的是正测度而非符号测度。

积分理论

As we shall see in this course, we would then have to renounce the possibility of resovling many problems posed long age, and which have simple statements. It’s to sovle these problems, and not for the love of complications, that I have introduced in this book a definition of the integral more general than that of Riemman. —H.Lebesgue.

与测度理论的建立相对应，一般测度空间内的积分理论类似地沿如下路线发展：

1. 定义示性函数以及简单函数的积分
2. 使用简单函数逼近非负可测函数，从而定义非负可测函数的积分
3. 分别考虑实值可测函数的正部和负部，定义实值可测函数的积分
4. 分别考虑复值可测函数的实部和虚部，定义复值可测函数的积分
5. 可积函数（ 空间内）的收敛性：（几乎处处）逐点收敛、（几乎处处）一致收敛、依测度收敛、以概率一收敛
6. 积分与极限的交换：单调收敛定理、控制收敛定理、Lusin引理
7. 多重积分的定义，积分顺序交换—Fubini-Tonelli定理

积分的定义

积分理论的开端始于区域的测度，对应可测集的示性函数的积分。给定测度空间 ，如果 ，则 称为 的示性函数，它满足

定义 的积分为 的测度：

接着，称简单函数的有限线性组合为简单函数

要求其中的 是互不相交的可测集。上述简单函数的积分定义为

在测度理论中已经看到，我们无法对所有的集合都定义测度，只能将目光限制于可测集族内，这直接导致积分理论也只能对一些具有类似可测性质的函数定义合适的积分。下面我们先考虑比较简单的非负函数，说明任意可测非负实值函数都可以被简单函数逼近。这一步依赖于函数的可测性，因此我们需要先引入可测函数的概念并对其做一些考察。

可测函数

首先，任意映射 都诱导出一个逆映射 ，定义为

这一映射保持集合的交、并、补运算，因此如果 上具有一个 -代数 ，则 诱导出了 上的一个 -代数

通过分析由 导出的 与 上原本的 之间的关系，我们可以反过来定义 自身的可测性：

可测函数：如果 和 是测度空间，映射 满足对任意 都有 ，则称 是从 到 的 -可测函数。换句话说， 是-可测函数当且仅当由 诱导的 -代数 是 的一个 -子代数。

根据上面的定义，一个简单的结论是，当 是由某一个基础集族 生成时， 是可测函数当且仅当 。这一结论有助于判断一些简单空间上函数的可测性。特别地，当 上都具有拓扑结构，从而是拓扑空间时，任意从 映到 的连续函数都是 可测的。应用中最常见的情形是 （或），此时若 是 -可测的，往往简称为 是 -可测或可测的。根据之前的结论，要判断 是否可测，只需判断 的某一个基础集族 内的集合 是否都在 内，而常用于判断可测性的基础集族是由 上的无限半区间：

其中一类组成的集族。至于 的情况，不难看出 可测当且仅当 和 都是可测的。这一事实可以视作如下关于乘积空间的结论的特例：

给定可测空间 和 ，其中 ，令 是乘积测度空间， 是投影映射，则 是 -可测的当且仅当任意的 对应的 都是 -可测的。

另一种特殊情况是 ，如果 是 -可测的，则称 是Lebesgue可测的；如果 是 -可测的，则称 是Borel可测的。需要注意的是，可测函数的复合可能不是可测的，不过当 是Borel可测时，不管 是否可测， 都是可测的。这一事实的经典应用是证明两个可测函数 的和 以及乘积 都是可测的，其中和函数可以视作 与 的复合 ，而乘积函数可以视作 与 的复合 ，不难证明 是 -可测的而 都是 可测的。

为了谈论函数的逼近，首先需要考察这类函数的极限。下面考虑可测函数列的极限，目前我们仅限于实值可测函数，并且考虑的只是逐点收敛。直接使用定义可知，如果 是可测空间 上的一列 值的可测函数，则

都是可测函数，并且如果极限存在，则逐点定义 得到的函数 也是一个可测函数。这一结论对于复值函数也自然成立。

现在可以给出我们的第一个逼近定理：

Approximate Nonegative Measurable function with Simple function

在可测空间 内，我们有如下结论：

1. 如果 是可测的，则存在一列单调不减的非负简单函数 : 使得 在逐点意义下收敛到 ，并且在任意使得 有界的子集上 一致收敛到 ；
2. 如果 是可测的，则存在一列模值单调不减的复值简单函数 : 使得 在逐点意义下收敛到 ，并且在任意使得 有界的子集上 一致收敛到 ；

上述定理的证明关键在于对 的值域进行分割，考虑

定义

作为定理中的逼近函数序列。 的可测性保证了示性函数 的存在性。

这一小节的最后，我们考察一下 是完备测度的特殊情况。此时如果 在 上几乎处处成立，而 是一个可测函数，则 也是一个可测函数，并且如果 关于 几乎处处成立，则由 的可测性可以得到极限 的可测性。由于任意测度都可以被完备化，并且在不特别说明的情况下总默认使用的测度是构造测度的完备化，因此前述结论在定义函数的积分时可以自然地使用以帮助我们摆脱函数在一个零测集上的瑕点，从而只需考虑一个与原函数几乎处处相等但性质更好的函数的积分。此即如下命题。

设 是一个可测空间， 是该空间的完备化。如果 是 上的一个 -可测函数，则存在一个 -可测函数 使得 关于 几乎处处成立。

可测函数积分

记测度空间 上的全体非负可测函数全体为 ，即

现在我们可以定义非负可测函数的积分。根据上一小节中的定理，任意非负可测函数 都可以被一列单调不减的非负简单函数 逼近，因此我们可以定义 的积分为任意一列逼近函数序列的积分的极限：

这种定义方式需要检验其良定性，因为同一个函数可能有不同的逼近序列。借助逐点收敛性可以证明这一定义是良定的。另一种不需要验证良定性的定义方法是令

上述定义与第一个定义等价，并且无需担心良定性，不过使用第一种定义的优点在于可以直接得到如下重要的单调收敛定理：

The Monotone Convergence Theorem

如果 是 内的一列单调不减函数列，则逐点定义的 也是 内的一个可测函数，且有

如果使用第一种定义，由于每一个 都是非负可测的，于是有一列相应的单调不减的简单函数列 使得 ，并且

现在我们选取对角元序列 ，不难证明 逐点收敛到 ，于是 是非负可测的，进而根据第一种定义可知

如果使用第二种定义，则需要考虑

其中 是一个固定的常数， 是一个简单函数，满足 。不难发现 是单调不减的，且 ，并且根据积分的单调性

两侧取极限可得

由于上述估计对于任意 都成立，因此也对于 时的极限成立，即

选取 使得 是上述不等式的右侧的上确界，根据第二种定义得到

而另一方面，由于 ，根据积分的单调性，有 ，于是结合上述两个不等式即可得到单调收敛定理。

单调收敛定理本质上说明了单调性可以保证积分与极限的交换。它的一个直接推论是考虑级数 ，其中 ，则 也是 内的可测函数，且有

当 是计数测度时，上述结论就变为了求和与求和之间的交换，即

另一个显然的推论是，如果 只是关于 几乎处处成立，那么借助上一小节最后的命题可知 也是 内的可测函数，且同样有

单调收敛定理中的单调性要求是证明的关键，如果去掉单调性，首先极限是否存在就是一个问题，在这种情况下我们至多只能考察积分列的下极限，这就是如下的Fatou引理：

Fatou's Lemma

设 是 内的任意一列函数列，则

要证明Fatou引理，令

又注意到

而 是单调不减的，因此根据单调收敛定理可得

以上述分析为基础，现在可以定义一般的积分。对于一般的实值可测函数，令

则 ，且 都是非负可测函数，因此可以定义 的积分为

如果 和 至少有一个是有限的，则称 的积分存在，而如果两个都有限，则称 是可积的，记为 。积分存在并不意味着函数可积。显然 可积当且仅当 是可积的。对于复值可测函数，可以类似地定义积分，即

与实值函数积分类似，如果 ，则称 是可积的，记为 。不难看出， 当且仅当 的实部和虚部都是可积的。

关于这类一般的积分最重要的结论是下面的控制收敛定理：

The Dominated Convergence Theorem

设 是 内的一列函数列，满足 几乎处处成立，且存在一个可积函数 使得 几乎处处成立，则 也是可积的，并且

证明只需使用Fatou引理，我们分别有

于是可得 ，而根据上下极限的定义天然地有 ，所以 ，并且 。

事实上，上述定理有更弱的形式：

Generalized Dominated Convergence Theorem [Follan,Real Analysis,Ex.20]
如果 满足 和 几乎处处成立， 可以控制 : ，并且，则

注：借助控制收敛定理证明。

几种常用收敛

在积分理论中，我们经常会遇到几种不同的收敛类型，下面列出了它们的定义：设 是测度空间 上的一列可测函数， 是 的一个可测子集，则我们称

1. 一致收敛：如果对任意 ，存在 使得对任意 和任意 都有 ；记作 ；
2. 几乎一致收敛：如果存在一个零测集 使得 在 上一致收敛到 ，则称 在 上几乎一致收敛到 ，记作 或 ；
3. 逐点收敛：如果对任意 都有 ，则称 在 上逐点收敛到 ，记作 ；
4. 几乎处处收敛：如果存在一个零测集 使得 在 上逐点收敛到 ，则称 在 上几乎处处收敛到 ，记作 ；
5. 依测度收敛：如果对任意 ，都有
   
   则称 依测度收敛到 ，记作 。
6. 平均收敛：即在 范数下收敛，记作 ；
7. 弱收敛：即在 范数下弱收敛，要求 ，对任意 都有
   
   其中 是 的共轭指数。

上述这些收敛类型之间的关系如下两图所示。由于函数列的收敛性与区域的选择有关（特别是一致收敛性），因此必须分成 有限与无限两种情况讨论。这两幅图来自于汪林老师的《实分析中的反例》一书。

时 上函数列各种收敛之间的关系[汪林，实分析中的反例]

时 上函数列各种收敛之间的关系[汪林，实分析中的反例]

这其中有一些重要的结论，这里只把它们简单地列举在下面：

Egoroff's Theorem (Almost Pointwise Convergence implies Uniformly Convergence on a subset)

当 时，如果可测函数列 ，则任给 都存在闭集 满足 ，使得

Lusin's Theorem (Measurable implies Continuous)

如果可测函数 在 上是有界的，即任意 都有 ，则任给 都存在闭集 满足 ，使得 在 上连续。

Frechet's Theorem (Approximate Measurable function with Continuous functions)

若 在可测集 上几乎处处有界，即存在一个零测集 使得 在 上有界，则 是可测函数当且仅当存在一列在 上连续的函数 使得 在 上几乎处处成立。

多重积分

多重积分是乘积测度空间上高维函数的积分，因此需要使用在乘积测度那里建立的理论。下面接着那里的讨论，有了积分工具，现在我们可以走得更远。第一个重要的结果是将乘积测度表示为积分形式：

Product Measure as Integral

给定 -有限的测度空间 和 ，如果 ，则函数 分别在 和 上可测，并且

上述结论的证明很有特色，依赖于集合的单调类定理。首先让我们回忆一下单调类的定义，如果 的子集族 关于其中的任意下降集合序列的可列交，以及任意上升序列的可列并都封闭，则称这样的集族 是一个单调类。显然任给 上的代数 都可以通过向其中添加上升序列的可列并以及下降序列的可列交生成一个单调类。单调类定理断言，由代数 生成的单调类 与由 生成的 -代数 相同。要证明这一结论只需说明两者互相包含，见[Follan,Real Analysis,Lem 2.35]。下面我们来证明上述结论。

Proof. 设 是使得定理成立的全体 内子集所构成的集族，我们的目标是说明 是包含全体矩形集所生成代数的单调类。如果前述得证，则注意到矩形集族在有限不交并下生成的代数 进一步生成了 -代数 。根据单调类定理，，由于 是包含 的最小单调类，而 ，因此 。另一方面，自然地有 ，因此 ，从而定理的结论对于所有的 都成立。
下面我们说明 是包含全体矩形集所生成代数的单调类。首先证明所有矩形集 ，其中 。此时任给 都有 ，因此 是可测的。同理可知 也是可测的。接着注意到 ，于是根据乘积测度的定义我们有

类似地可以得到

因此 。由于积分具有线性性，因此矩形集的有限不交并同样可以使结论成立，即 包含矩形集所生成的代数 。最后我们还必须说明 是一个单调类，这只需证明 在任意下降集合序列的可列交和任意上升集合序列的可列并下封闭即可。先考虑上升序列。设 是一列上升序列，即 ，下证 。由于 ，根据 的构造可知 是一个可测函数，注意到 是一个单调不减的函数列，因此由单调收敛定理可知 也是可测的，而且

再次使用 这一条件，于是由定理的第二条结论可知

两式相结合可得

使用测度的连续性可得

类似地可以得到

因此 。最后考察下降集合序列的可列交。令 是一列下降集合的可列交，定义 ，于是 是可测的，且 是单调不增的，于是 是 的一个控制函数，使用控制收敛定理可得

类似地可得

于是 。综上 是一个单调类，进而 ，结论对于任意乘积可测集都成立。证毕。

接着我们在上一定理的基础上介绍积分理论的高峰—Fubini-Tonelli定理。该定理告诉我们可以将高维函数的积分转化为一维函数的积分。

The Fubini-Tonelli Theorem

给定 -有限的测度空间 和 ，如果 ，则

Tonelli (Nonegative Measurable)：如果 ，则 和 分别在 和 内，且

Fubini (Integrable)：如果 ，则 关于 几乎处处成立， 关于 几乎处处成立，而几乎逐点定义的 和 分别在 和 内，并且

通常在希望交换积分顺序时，往往会按如下方式使用上述定理：

1. 首先考察 的可积性，这等价于考虑非负可测函数 的积分，注意到 ，因此可以对 使用Tonelli定理，交换积分顺序以得到 的重积分值，通过实际计算说明 的积分有限从而 可积；
2. 如果通过第一步说明了 、进而 是可积的，则可以使用定理的第二部分，即Fubini定理，交换积分顺序计算出积分值。

下面我们给出Tonelli-Fubini定理的简要证明。我们先证明定理的第一部分，即Tonelli定理。首先考虑最简单的 是示性函数的情形，此时结论退化为上一个定理的结论，因此自然成立。 是简单函数的情形由积分的线性性立即可知。当 是一般的非负可测函数时，根据之前的分析， 可被一列单调不减的简单函数 逼近，在乘积测度空间 上使用单调收敛定理可知

而根据之前的分析任意的 都有

再次使用控制收敛定理可知

因此

类似地可以得到另一个等式。这就证明了Tonelli定理。接着考虑Fubini定理。对于一般的可积函数，可以将它拆成正部 和负部 ， 是可测的导致 和 都可测，于是根据Tonelli定理可以得到两个相应的等式，相减即可得到想要的结论。对于复值函数，只需类似地拆成实部和虚部分开考虑。

最后，我们给出上述Tonelli-Fubini定理的一个改进版本，这一改进源自于测度的完备性，事实上，就算测度空间 和 都是完备的，也无法保证两者的乘积测度空间 是完备的，而我们通常更希望在一个完备的空间上进行积分，但是现在 的完备化空间中无法直接使用Tonelli-Fubini定理，这一事实迫使我们将Tonelli-Fubini定理推广到完备乘积空间上。

The Fubini-Tonelli Theorem for Complete Measure

给定 -有限的完备测度空间 和 ，设 是乘积空间 的完备化空间，则

Tonelli (Nonegative)：如果 ，则 和 分别是几乎处处 -可测和几乎处处 -可测的，并且 和 分别在 和 内；

Fubini (Integrable)：如果 ，则 关于 几乎处处成立， 关于 几乎处处成立，而几乎逐点定义的 和 分别在 和 内，并且

微分理论

The Maximal Problem: The problem is not most easily grasped when stated in the language of cricket, or any other game in which a player compiles a series of scores of which an average is recorded. —G.H. Hardy and J.E. Littlewood.