Lp空间

在分析学中，空间，即所谓的次方可积函数空间，是一类非常常见的空间，它们是一类重要的完备赋范空间（Banach空间）。这些空间之所以如此频繁地出现在各个分支，一方面是因为它的定义足够宽松—只要求可积性（要求本质上界有限）—以至于可以囊括足够多我们感兴趣的函数，而且可以进一步考虑其中的更精细的子空间，如Sobolev空间，并且可以反过来通过将这些子空间嵌入回空间来使用具有更好性质的小空间内的函数来研究空间内的函数；另一方面，空间具有非常多的良好性质和经典结构，例如具有完备性、可分性等，可以讨论对偶性和自反性，在上面可以进行各种插值并做相应的估计等等，这使得这类空间可以被作为典型的分析范例。

基本理论

首先我们给出空间的定义。

空间：设是一个测度空间，，则是由所有满足的可测函数所构成的空间；如果，则是由所有满足的可测函数所构成的空间，其中是的本质上界（essential supremum）。

为了使空间真正成为一个赋范线性空间，现在需要定义其上的范数。当时，令范数为

而当时，令范数为

其中的本质上界的定义为

可以验证，这样定义的范数满足范数的三条公理：非负性、齐次性和三角不等式。事实上，我们上面仅对的情形给出了定义就是因为当时，按照上面这种形式定义的“范数”不再一定满足三角不等式，因此可能不是一个范数。一个简单的例子见[Follan,Real Analysis, p182]：

时三角不等式不一定成立：注意到时我们有，其中。现在对该式关于两侧积分得。现在设和是上两个测度有限的不交可测集，令，，于是有

在空间中，最重要的事实是一系列不等式，这些不等式可以帮助我们理解空间的结构，以及在其中进行各种估计。下面列出了一些重要的不等式：

Young's Inequality

任意，且互为共轭指数，即，则有 另一种常见的形式是 其中。不等式取等当且仅当。

Hölder Inequality

任意和，其中且互为共轭指数，即（保证尺度不变性），都有 并且上述不等式取等当且仅当和几乎处处成比例，即存在常数使得几乎处处成立。

Minkowski's Inequality

任意，如果，则有

其中Young不等式的一个经典证明是借助函数的凸性，即

下面两个不等式先考虑的情形，此时Hölder不等式的证明可以Young不等式。一种方法是先归一化，证明的情况，此时根据Young不等式有

两侧积分可得

于是Hölder不等式成立。注意该不等式具有伸缩不变性，即换为仍然成立，于是可以通过伸缩性推广到一般情况。另一种证明是使用优化的思想，同样由Young不等式得

现在利用伸缩不变性将替换为可得

下面我们可以选取以使得上述不等式的右侧最小，不难发现时右端最小，而且相应的最小值就是。

最后，Minkowski不等式的证明要借助于Hölder不等式。首先注意到

现在使用Hölder不等式可得

因此可得

另外，我们约定和互为共轭指数，在这种情况下，使用积分的单调性可知Hölder不等式显然成立，即；Minkowski不等式在时的证明与之前完全相同，的情形只需注意到

接下来给出两个泛函分析中的经典结论：任意
1.空间是Banach空间；
2. 简单函数在空间中稠密；

上述两个命题的证明在任意一本泛函分析教程中都可以找到。

插值和嵌入

下面我们考察不同空间的关系，此时需要注意一些命题依赖于是否为有限测度。我们先给出一个插值关系。这里所谓的“插值”与数值计算领域不同—此处的插值指的是要在给定的两个空间之间找到一个中间空间，这一中间空间内的函数可以视作是两个给定空间内函数的“平均”或“中间”函数。稍后我们会讨论更复杂的插值问题，下面给出一个最简单的插值命题。

Interpolation

如果，则，即任给，存在和使得。

证明并不困难，我们可以直接构造出上述。给定，我们可以定义，令，，于是

所以。另一方面有

因此。最后注意到，证毕。

与上面的插值关系相对应的是一个如下“嵌入”关系：给定的两个空间的交集可以嵌入到中间空间内。

Embedding

如果，则，而且任意都有 其中满足

与插值关系不同，要证明嵌入关系需要对是否为正无穷进行讨论。当时，注意到，于是

所以，命题成立。当时，我们可以直接使用Hölder不等式，注意到与互为共轭指数，其中为命题中指定的常数。于是有

两边同时开次方即可得到命题中的不等式。

接着我们介绍空间的大小关系。如果使用计数测度，此时空间通常记作。在这种情况下，给定任意集合，如果，那么

当时，，自然小于等于。当时，使用上一条结论，令可得

因此空间随着的增大而增大。

然而，对于任意满足的有限测度，空间的包含关系与上述计数测度的情况正好相反。此时我们有

的情形是平凡的，我们有

当时，同样使用Hölder不等式，注意到与互为共轭指数，于是

因此当是有限测度时，空间随着的增大而减小。

最后我们简单介绍空间的可分性概念。一般地，如果可测空间内存在一个可列可测集族可以生成整个可测集族，即

则称是可分的。进一步地，现在考虑测度空间。如果该测度空间内存在一个可分的-代数使得

则称是-可分的。

对偶空间

现在考察空间的对偶空间以及自反性。

自反（Reflexive）：给定Banach空间，考虑如下典范映射：

其中满足对于任意都成立。可以验证是单射。如果是满射(进而是同构)，则称是一个自反空间。

本小节的目标是说明如下时如下映射：

是一个等距同构。上式中是的共轭指数，是上全体有界线性泛函构成的空间，称为空间的对偶空间，上式中的定义如下：

在一些文献中也会定义为。定义方式不影响我们的结论。作为有界线性泛函的范数自然地使用算子范数，即

下面我们要说明如下三条事实：

1. 在或且是半有限测度时是保距的，即；
2. 在合适的条件下的定义中选取的测试函数可以只考虑有限测度区域上的简单函数，即
   
   3.是单射，当或且是-有限测度时是满射；

保距性

首先我们考虑的情形。此时根据Hölder不等式可得

于是。另一方面，如果是非零函数，则考虑

直接验证可知，并且有

所以。对于的情形，类似地使用Hölder不等式可得。对于另一侧，需要使用的半有限性。任给，令，的半有限性保证存在使得。现在考虑

这样的满足，并且

由的任意性可得。

我们将上面的证明总结为如下结论：

Isometry

如果，或者且是半有限测度，令是的共轭指数，，则是保距映射，即

后面两部分的证明非常有技巧性，我们先给出结论：

限制在简单函数空间上

下面结论的证明比较曲折，由于只是可测的，因此不光需要按照定义选取简单函数作为来得到，还必须再选取一列简单函数逼近，而且最后需要再取极限得到关于而非的关系。

Restriction

设互为共轭指数，是上的可测函数，记是全体支集是有限测度的简单函数所组成的函数空间。如果以下条件成立：

1. 任意都有；
2. 集合 的测度有限；
3. 是-有限的，或者是半有限的（当是半有限测度时可以推出关于是-有限的）；

那么我们有，并且

Proof. 证明与之前类似分成和两大块。首先考虑的情况。由的半有限性和的测度有限可以推出任给，集合的测度都是有限的 (?)，进而视作这些集合的并是-有限的，因此我们只需考察是-有限的情况。此时设是一列上升的测度有限的集合，满足。根据之前的分析可知，可测函数可以被简单函数逼近，我们设是一列满足且逐点收敛到的简单函数。现在令

由的逐点收敛性以及的上升性质可知逐点收敛到，而且也满足，并且的支集为测度有限的，所以。选取

之前已经验证过这样的满足。下面使用Fatou引理可知

使用之前构造的使用下式替换上式中的

又因为可以被控制，所以我们有

至此我们只需说明即可，这一步的证明依赖于构造的是定义在有限测度集合上的有界函数，因此可以使用简单函数逼近，于是对每一个都存在一列简单函数使得从下方逐点收敛到。因为，于是根据控制收敛定理可知

上式两侧关于取下极限就得到了希望的不等式。于是，现在可以使用Hölder不等式看到任意且都有，所以。综上可知。使用之前的结论可知是保距映射，于是。

到此为止我们已经说明了的情况。对于的情况，仿照上一个结论的证明，对于任意的，考察集合。如果具有正测度，则使用的半有限性可知存在使得，于是考虑

这样的满足，然而

这与的极大性矛盾，因此的测度为零，由的任意性可知。另一个方向的不等式显然，于是。证毕。

满射性

最后我们说明时是双射，因为的单射性是显然的，这里只需检验它的满射性。这里将证明的结论是相当弱的一个形式，其中我们没有要求测度是-有限的，因此证明的难度相对较大，不过还是让我们遵守一般性的原则，首先说明是有限测度的情况，之后再推广到-有限的情况，最后说明是任意测度时结论都成立。

Surjection

设互为共轭指数，当时，对于任意都存在使得，即

Proof. 证明的关键在于使用Radon-Nikodym定理：我们将说明是某一个测度的Radon-Nikodym导数，从而说明的存在性。
首先考虑是有限测度的情况，此时所有简单函数都是可积的。任给和可测集，令，我们来说明这样定义的是一个测度。显然，现在考虑可列可加性，如果是一列两两不交的集合，令，于是这一级数在范数下的收敛性由的有限性保证，由此可得

在这里我们需要才可以说明上式的极限为零，当时显然上式恒等于。

因为是有界线性泛函，有界性与连续性等价，于是使用从部分和到级数的极限关系可得

所以是一个测度。接下来为了使用Radon-Nikodym定理，我们需要说明是绝对连续的。这件事并不困难，当时，几乎处处为零，所以，使用的有界性可知，因此，所以。现在根据Radon-Nikodym定理可知，存在使得

接下来我们说明不仅是可积的，而且也是可积的，一些地方称之为可以被“提升”到空间内。基于上式可知任意的简单函数都有

使用上一个结论可知。最后，因为简单函数在中稠密，所以对于任意都存在一列简单函数逐点收敛到，于是对于任意的都有

至此我们说明了是有限测度时命题成立。

下面令是-有限的，此时设是一列上升的集合，满足，并且。这里我们将视作的子空间，其中只包含支集在上的函数。于是在每一个上都可以使用上一种情况的结论，于是我们得到一列使得，其中(这里的均可以视作)，而且

由于是上升集合，而且满足()，所以当时，和在上几乎处处相等，于是我们可以定义满足，根据单调收敛定理可知

所以。最后当时，我们有在范数下收敛，于是根据控制收敛定理可知

这样就完成了是-有限时的证明。

最后我们考虑是任意测度的情况。根据上一步的分析，关于任意-有限集都存在几乎处处唯一的满足要求。如果是包含的更大的一个集合，那么和在上几乎处处相等，所以。现在令

因为每个的范数都小于，所以。选取一列使得，令，则是-有限的并且。如果是某个包含的-有限集，那么

所以，在时这说明与几乎处处相等。考虑任意，令，于是是-有限的，所以根据上面的分析可知与几乎处处相等，于是

因此令即可满足要求。证毕。

当时，一般不是满射，事实上的对偶通常严格大于。

至此，我们已经说明了在时是一个双射，于是，而天然地与同构，因此往往直接称是空间的对偶空间。顺便一提，在范畴论的视角下与之间的同构虽然显然，但却并不是“自然的”，这是因为它们之间的同构映射依赖于空间的线性性而不仅仅是拓扑结构，通常而言这样的同构依赖于基的选取（基的选取不唯一导致同构映射不唯一），而不是空间本身的结构，在空间的例子中，的定义依赖于积分形式，正是积分形式保证了线性性和有界性，但这也导致作为同构不够自然。真正“自然的”映射是到它的双重对偶空间的典范映射:

这样的典范映射仅仅依赖于空间的自身的结构，不涉及任何额外的性质，因此是“自然的”。

不过尽管作为同构不够自然，它仍然表明当时，，再使用做一次同构可知，于是

因此空间具有自反性。

重要不等式

在这一节的开始，需要提醒读者注意的是，在这一节中给出的各类不等式中的指标并不限于整数，在一些重要的应用中它们往往都只是分数，因此请勿先入为主地认为必须都是整数。

这里要给出的第一个不等式是著名的Chebyshev不等式：

Chebyshev Inequality

如果，其中，则任给都有

证明非常简单，只需注意到

下面我们考虑空间上积分算子的有界性，这里讨论的积分算子形如

其中是乘积测度空间上的可测函数，要求相应的和都是-有限的测度空间，。注意到如果，设是的共轭指数，则

所以使用Hölder不等式可得

所以如果自身满足

那么我们就有

现在我们考察是否可积。将上式两侧做次幂并积分可得

不难发现，如果与之前类似地满足

那么根据Tonelli定理（此处需要和的-有限性）交换积分顺序之后可得

于是我们最终得到了

因此。事实上，不难证明这一事实对于和的情况也成立。我们将上述分析整理为如下结论：

Integral Inequality

如果和都是-有限的测度空间，是乘积测度空间上的可测函数，满足 则任给（），它在积分算子下的像 在上关于几乎处处收敛，并且，满足

之前我们介绍了Minkowski不等式，即范数的三角不等式，它表明一些可积函数的和的范数可以被这些函数的范数的和控制，将这一离散版本的结论连续化就得到了下面的积分形式的Minkowski不等式。

Minkowski Inequality (Integral Form)

如果和都是-有限的测度空间，是乘积测度空间上的可测函数，则

1. 如果是非负函数，，则
2. 如果，关于几乎处处成立，且函数 是可积的，那么关于几乎处处成立，函数 是可积的，而且

我们先考察第一条结论。当时，第一条结论退化为Tonelli定理，因此自然成立。当时，设是的共轭指数，选取任意的可得

根据选取的任意性以及之前证明的对偶性结论可知

因此我们有

这就证明了第一条结论。对于第二条结论，在时，除了由于此时不再是非负的，因此需要使用Fubini定理而非Tonelli定理之外，证明的思路完全类似。当时，该结论是绝对值不等式的直接推论，只需使用积分的单调性即可。

接下来我们介绍一类在上关于Lebesgue测度的常用的积分不等式，称为Hardy型不等式，这类不等式涉及到两个积分算子。

Hardy-Type Inequality

如果是上的Lebesgue可测函数，满足如下条件：

1. 任意的都有
2. 存在使得

设是上述的共轭指数，给定任意以及，定义积分算子 则和几乎处处收敛，且满足

下面给出Hardy型不等式的简要证明。证明依赖于前面的积分形式的Minkowski不等式，不过这里需要先做一次变量替换，否则无法排除另一个变量的干扰。令，于是

其中，并且使用到了上述第一个条件。进一步考察可知

现在我们使用Minkowski不等式可知几乎处处收敛，并且

最后再令，于是

因此类似地可以说明几乎处处收敛，并且。

接下来给出几种特殊的生成核对应的Hardy型不等式：

1. 令，则显然满足Hardy型不等式的条件，此时算子和分别为
   
   使用上面的结论可知给定任意互相共轭的和，我们有
   
   上述不等式常被称作Hardy不等式，其中的常数来自于
   
2. 另外一种特殊情况是令，此时条件一同样可以满足。算子的形式为
   
   使用复分析的工具直接计算可知对任意有
   
   所以根据Hardy型不等式可知
   
   这一不等式称作Hilbert不等式。
3. 最后我们再给出一种形式稍微复杂的Hardy型不等式的特例，令，，，这里的是待选取的合适的常数，是上的非负可测函数，则当，时，如果令，，那么对
   
   使用Hardy型不等式可得
   
   类似地，如果令，，那么对
   
   使用Hardy型不等式可得
   

分布函数

下面谈论的广义函数是其中一种理论，事实上，广义函数有多种不同但是互相联系紧密的理论，这里我们借助测度定义其中一种广义函数，进而定义以广义函数为元素的弱空间。首先我们给出广义函数的概念：

分布函数 如果是测度空间上的一个可测函数，称以如下方式定义的映射为的分布函数（或广义函数）：

不难看出上述定义等价于

由定义可见，这里我们讨论的广义函数总是于一个可测函数联系在一起。下面列出了一些常见的分布函数的性质：

1. 右连续且单调下降；
2. 如果，则；
3. 如果向上收敛到，则向上收敛到；
4. 如果，则。

这其中第一条性质来自于测度的连续性和非负性（这里使用的全是正测度），第二条直接来自于定义，第三条的单调性来自第二条，逐点收敛性可以使用测度的连续性直接验证，最后第四条是由于

变量替换

到目前为止，我们都还没有介绍如何对一般的抽象测度做变量替换，现在有了分布函数的工具可以给出一些常用的事实。根据之前的定义以及列出来的性质，不难发现由分布函数可以定义一个上的预Borel测度

其中，由上述预测度可以生成一个Borel测度，完备化之后得到一个Lebesgue-Stieltjes测度，不妨将得到的Lebesgue-Stieltjes测度仍然记作。由于由诱导得到，所以相应的抽象积分往往也记做

事实上，在合适的条件下可以将非负可测函数的抽象积分化为Lebesgue-Stieltjes积分来进行计算，即如下命题：

抽象积分化为Lebesgue-Stieltjes积分 令是测度空间上的一个可测函数。如果由诱导的分布函数对任意的都成立，是任意给定的非负可测函数，那么

上式左端是测度空间上的抽象积分，右侧是上的Lebesgue-Stieltjes积分。

为了说明上面命题的正确性，只需验证结论对于示性函数成立，之后借助线性性可知对任意简单函数成立，最后使用单调收敛定理可知对于任意非负可测函数都成立。当时，上式左端为

所以对于这类特殊的示性函数结论成立，因为全体区间可以生成，因此任意结论都成立，这就说明了结论对于所有示性函数都成立，进而命题成立。

一种最重要的特例是令，其中 ，此时上述命题的结论变为

这一公式看起来可以用来计算的范数，然而美中不足的是右侧的通常是无法直接计算的，为了绕过这一困难一种自然的想法使用分部积分将消去得到

上述公式确实成立，不过还是让我们来验证一下分部积分公式的条件是否真的得到了满足，即在趋于和时的极限都是。对于可以取到的情形，上式两侧自然都是无穷大。当总是有限的时候，同样我们只需考察是简单函数的情况，当时显然，而当足够大时，，所以。对于一般的，我们可以使用简单函数逐点逼近的方法来证明，这里需要借助之前的分布函数的极限性质。

鉴于上述结论的重要地位，我们将该结论总结为如下命题，该命题提供了一种非常便于操作的证明某一可测函数有界性的方式：

Lp Criterion

如果，那么测度空间上的任意可测函数的范数都满足

有了这一命题，在实际计算时我们只需估计分布函数的增长速度，就可以得到的范数的上界，这让我们在仅有的一些性质而不知道具体形式的情况下也能够得到一些有用的信息。使用这种方式可以得到一些有用的结论，以下事实来自[Folland,Real Analysis,Ex. 6.4.36]，证明只需使用弱空间的定义和上述命题，分别控制和处的函数变化速度()即可：

如果，并且，那么对于任意的都有。
如果，则对于任意的都有。

进一步地，我们可以不止局限于将抽象积分化为Lebesgue-Stieltjes积分，可以直接将一个测度空间上的积分转化为另一个测度空间上的抽象积分，下面给出一般的变量替换公式：

Variable Substitution

设是测度空间，是一个可测空间，存在两者之间的一个可测映射 令是由和定义的上的一个测度： 那么对于任意可测函数 都有

带上变量的话上式可以写为

其中

该定理的证明遵循一般的流程，首先说明对于示性函数成立，此处只需利用测度的定义，之后利用线性性可知对于简单函数成立，接着使用单调收敛定理可知对于任意非负可测函数成立，最后对于一般的可测函数只需分别考虑正部和负部即可说明结论的有效性。

弱Lp空间

稍后我们将看到，要求解函数落在空间对于某一些问题来说可能过于严格，因此有必要引入一种更宽松的空间：弱空间。弱空间的定义依赖于弱范数（这其实不是一个范数）：我们将上可测函数的弱范数定义为

虽然满足齐次性，然而它通常不满足三角不等式，因此不是一个严格意义上的范数。

对于，我们定义弱空间为

不难证明如下事实：

1. 对于任意都成立；
2. （Chebyshev不等式）；
3. 构成一个拓扑向量空间(TVS)。

插值定理

The Riesz-Thorin Interpolation Theorem

设和都是测度空间，，并且当时额外要求是半有限的。对于任意的，令为满足如下关系的常数 如果 是一个线性映射，满足 则如下插值不等式成立

在介绍第二个插值定理之前，我们需要先引入一些新的概念。

设是由测度空间上的可测函数全体所组成的线性空间，是由测度空间上的可测函数全体所组成的线性空间。令是这两个线性空间之间的某一映射，我们称
1.是次线性的(sublinear)：如果对于任意的和都有

2.是强型的（）：如果是次线性的，，而且，即存在常数使得

3.是弱型的（，）：如果是次线性的，，而且，即存在常数使得

当时，称是弱型的当且仅当是强型的。

现在给出第二个插值定理，该定理将是本节介绍的空间理论的顶峰：

The Marcinkiewicz Interpolation Theorem

设和都是测度空间，满足，，，并且存在使得 记是上全体-可测函数所组成的空间。如果次线性映射 既是弱型的，又是弱型的，那么一定是强型的。换言之，如果 则如下插值不等式成立 其中常数只依赖于以及和。

上述定理说明如果次线性映射在两个端点空间上各自都是弱有界的，则在这两个空间之间的任意内点空间上一定是强有界的。

Proof. 这一定理的证明相当复杂，这里只考虑，同时要求，的情形。任给和，令，构造

上述即是将位于的下方的部分截断得到的函数，是相应的补函数。不难证明

现在我们使用之前得到的公式

来计算和的范数，直接带入可知

以及

类似地可以对也使用该公式估计其范数

由的次线性以及分布函数的第二、四条性质可知对于任意的和都有

现在我们令

取，于是有如下估计

其中的第一部分进一步可以做下面的估计

类似地，第二部分可以被放大成如下形式

将这两项合起来就得到了

为了分析方便，记

其中和分别是和上的特征函数。于是原本的估计可以写成

因为，所以使用Minkowski不等式可知

令。下面我们分和两种情况来讨论。

当时，与都是正数，不等式等价于，所以

其中使用到了的定义。

对于的情况，和此时都是负数，因此不等式等价于，所以与上面相对应的有

经过类似的计算可以得到

现在我们综合上述分析可知

因为是次线性的，所以当时，于是由上式可知对于任意的我们都有

关于其他情况的证明可以参考[Folland,Real Analysis,Th.6.28]。

紧性准则

最后一部分考虑空间的紧性问题，这一部分的内容主要参考了[Brezis, Functional Analysis,Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Chapter 4]。在前面我们已经在空间上定义了范数，从而让它们成为了Banach空间，这些空间中的拓扑结构自然地由范数诱导。在这一部分我们将讨论空间作为拓扑空间的紧性，即在空间中什么样的函数族是紧致的。下面一段话(来自USTC拓扑学课程文档)从一个方面简单介绍了紧性的重要性：

在拓扑学中，“局部性质”这个词往往表示“在点的邻域内成立的性质”。从某种意义上说，“局部性”是拓扑的根本，这一点在拓扑学的定义中就已经明确显现出来：我们的研究对象，拓扑空间，是由邻域结构确定的；拓扑空间之间的态射，连续映射，也是由映射在每个点的邻域内的性态决定的。另一方面，“整体性质”才是拓扑学的灵魂，无论是拓扑学的“分析部分”还是“几何部分”，都离不开对拓扑空间或其中特定子集的整体信息的刻画。例如所有的曲面在每个点的局部都跟平面圆盘在拓扑上是一样的，但整体上看曲面却是五花八门的。
在从分析到几何到数论等各个数学分支中，都存在各种从局部信息过渡到整体信息的方式，我们不妨把这些方式统称为“局部-整体原理”，而该原理甚至在物理、生物等科学领域也多有呈现 … 在拓扑学中，紧性（及其推广），作为一种广义的有限性，可以让我们从局部信息中获取全局信息。从某种意义上来说，紧性是最重要也最有用的拓扑性质。

这一节的内容仅限于欧氏空间，讨论的空间是上的空间。

强紧性

强紧性关心的主要问题是：在空间中，什么样的函数族在空间的范数诱导下的拓扑(强拓扑)下的闭包是紧致的，即相对紧(relative compactness)的刻画。这里的“强”紧性是相对于之后讨论的“弱”紧性而言的，通常而言强紧性是更强的性质，具有强紧性的函数族同时也是弱紧的。

关于强紧性的第一个著名定理是Arzelà–Ascoli定理，这里先给出它的一般形式：

Arzelà–Ascoli Theorem

设是一个紧致度量空间，是上连续函数空间的一个(一致)有界子集，如果是等度连续的，即任给，存在使得对于任意的，只要，就有 那么在中是相对紧致的，即在内的闭包是紧致的。

Arzelà–Ascoli定理的一个更初等的版本是：函数族是列紧的当且仅当是一致有界并且等度连续。在这里我们想要的是它在空间上的推广版本，即空间上的Arzelà–Ascoli定理：

Fréchet–Kolmogorov Theorem (Arzelà–Ascoli Theorem on Spaces, )

设是空间内的一个有界集族，其中，那么是相对紧致的当且仅当

• 是等度连续的 (equicontinuous)： 其中。
• 满足消失性条件 (equitight)：

Proof. 这里只给出一个简单的证明。首先考虑必要性。当是相对紧致的时候，可以使用有限个半径同为的开球将覆盖，即

于是任意的都能找到某个使得，因此

对左侧关于取上确界，之后两端关于取上极限可得

由的任意性可知上式左端为0，从而证明了等度连续性。另一方面注意到

所以左侧取上确界之后两侧关于取极限可得

由的任意性可知上式左端为0，从而证明了消失性条件。

下面考虑充分性，这一部分的证明需要使用这一小节开头给出的一般的Arzelà–Ascoli定理，另外需要使用到相对紧的一个等价刻画：一般地，某一Banach空间中的子集是相对紧的当且仅当任给，都存在一个相对紧的使得。（这里的加法是集合的加法而非并集）我们只需说明这一等价刻画成立。借助消失性条件

我们只需说明在上的限制是相对紧的，定义

其中是光滑cutoff函数，是标准卷积核函数。使用Minkowski不等式和等度连续性可知

因此，所以现在我们只需说明是相对紧的即可，为此要关于使用Arzelà–Ascoli定理，其中等度连续性由的等度连续性和的光滑性保证，一致有界性来自于如下估计（使用Hölder不等式）

于是是在内是相对紧的，从而在内是相对紧的。至此根据之前的分析可知是相对紧的。

弱紧性

首先给出弱拓扑、弱星拓扑和弱紧性的定义：

• 弱拓扑 (weak topology)：设是一个集族，给定是从到另一些拓扑空间的映射族，则在上存在唯一最弱（粗）拓扑使得所有的都是连续的，该拓扑称为由诱导的上的弱拓扑。特别地，当是一个赋范向量空间时，由对偶空间内的全体映射诱导的拓扑称为上的弱拓扑。换言之，上的弱拓扑是使得任意对应的典范映射
  
  都是连续映射的最弱拓扑。弱拓扑下的收敛称为弱收敛。
• 弱星拓扑 (weak* topology)：设是一个赋范向量空间，是的对偶空间，称上的弱拓扑为上的弱星拓扑，即是使得任意的对应的典范映射
  
  都是连续映射的最弱拓扑。弱星拓扑下的收敛称为弱星收敛。
• 强算子拓扑 (SOT) 设和是两个Banach空间，是从到的有界线性算子全体，上的强算子拓扑是使得对于任意的，映射
  
  都是连续映射的最弱拓扑。
• 弱算子拓扑 (WOT) 设和是两个Banach空间，是从到的有界线性算子全体，上的弱算子拓扑是使得对于任意的，，映射
  
  都是连续映射的最弱拓扑。
• 弱紧性 (weak compactness)：设是某一赋范线性空间，如果在弱拓扑下是紧致的，则称是弱紧致的。

在赋范线性空间中，判断一个集合是否是弱紧致的基础工具是相应空间中的弱收敛。

现在我们定义空间上的弱收敛：
当时，如果关于序列，存在使得

对于任意的都成立，其中是的共轭指数，那么我们称在空间上弱收敛到，记作

当时，如果关于序列，存在使得

对于任意的都成立，那么我们称在空间上弱星收敛到，记作

我们做如下注记：

1. 如果，此时空间是自反空间，，因此弱收敛和弱星收敛是等价的。
2. 当时，由诱导的空间的弱拓扑。
3. 当时，由诱导的空间的弱星拓扑。

关于弱紧性的一个重要定理是Banach–Alaoglu定理，这里给出它的一个版本：

Banach–Alaoglu Theorem

如果是一个Banach空间，则对偶空间内的闭单位球在弱星拓扑下是紧致的，其中

作为Banach–Alaoglu定理的一个推论可知，如果进一步要求是可分的Banach空间，且给定内的一列有界序列，则存在一个子列和使得

将上述结论应用到空间上就可以得到空间的一个弱紧性判定准则：如果，令是一列中的有界序列，那么根据Banach–Alaoglu定理可知存在一个子列和使得

此即

需要注意的是这一结论在时通常不成立。

另一个关于弱紧性的重要定理刻画了上述结论无法描述的空间的情形。

Dunford–Pettis Theorem

设是一个-有限的可分测度空间，则集族是弱紧致的当且仅当如下条件成立：

• 在内一致有界。
• 一致绝对连续：
• 满足消失性条件 (equi-tight): 对于任意的都存在，使得

与上述定理对应的是Vitali收敛定理，它刻画了空间上的强收敛，它断言在空间内强收敛到当且仅当

• 依测度收敛到；
• 在空间内一致绝对连续；
• 满足消失性条件。

端点空间的对偶

最后我们考察和空间的对偶，之前在对偶空间 中给出的分析在这两个端点空间处失效。

	Reflexive	Separable	Dual Space
when	Yes	Yes
	No	Yes
	No	No	Strictly bigger than