PID上有限生成模的结构定理

环论回顾

设 是一个非空集合，在上定义了两个代数运算：加法“”和乘法“”，如果如下性质成立：
1.关于加法构成一个交换群（封闭，结合律，零元，加法逆元，交换律）；
2. 乘法满足结合律：对任意的，有；
3. 乘法对加法满足分配律：对任意的，有和；

则称是一个环。乘法满足交换律的环称为交换环。

若是环的一个子集，且关于的加法和乘法构成一个环，那么称是的一个子环。是的子环当且仅当关于加法是一个子群 () ，并且关于乘法封闭 ()。

如果环内具有乘法单位元(幺元)，则称是一个幺环。在幺环中，所有关于乘法可逆的元素称为的单位，环的全体单位关于乘法构成一个群，称作的单位群。

如果对于非零的，存在非零的使得，则称是一个左零因子，是一个右零因子。左右零因子统称为零因子。如果环中没有零因子，则中乘法消去律成立。

在单位元不是零元的情况下，称无零因子的交换幺环为整环。如果至少含有两个元素的交换幺环内全体非零元素关于乘法构成一个交换群 (都是单位)，则称是一个域。显然，域是一个整环，但是整环不一定是域，只有有限整环一定是域。如果域的某一子环也是域，则称是的一个子域。

环关于乘法具有吸收性的子环称为理想：是的一个加法子群，满足任意，都有和。和是的两个平凡理想。当是一个幺环时，任意非平凡理想都不包含幺元。

设是一个环，是它的一个非空子集，则称内包含的所有理想的交集为生成的理想，记作。如果是的有限子集，则称是有限生成的。特别地，当时，由单个元素生成的称为主理想。显然主理想是由形如的元素的任意有限和构成的，其中，。当是交换幺环时，主理想。

如果整环的每个理想都是主理想，即由单个元素生成，则称是一个主理想整环（PID）。

在交换幺环中，如果理想，而且蕴含或者，则称是的一个素理想；如果理想，任意真包含的理想都是平凡理想自身，则称是的一个极大理想。

在交换幺环中，关于极大理想有如下刻画：
1.是一个域当且仅当零理想是极大理想；
2.的理想是极大理想当且仅当商环是一个域。
3. 设是环之间的满同态，，则诱导出的包含的极大理想与的极大理想一一对应；

相应地，在交换幺环中，关于素理想有如下刻画：
1.是一个整环当且仅当零理想是素理想；
2.的理想是素理想当且仅当商环是一个整环；
3. 设是环之间的满同态，，则诱导出的包含的素理想与的素理想一一对应；

显然，极大理想都是素理想，但反之不一定成立。极大理想的存在性不是显然的，它由如下定理保证：设是一个交换幺环，关于任意非零的，内存在一个不包含的任意次方的素理想。借助这一定理，令是幺元，可以证明上面给出的理想是一个极大理想。另一方面，这一定理也说明的全部素理想的交恰好是由的全部幂零元组成一个理想，记作，称作的诣零根。

下面考察整环的可除性。设是一个整环，对于任意的，如果存在使得，则称作的因子，称作的倍数，同时称整除，记作。整除具有自反性、传递性和线性性，即，其中，但不满足对称性。如果且，则称相伴，记为。如果但，则称是的真因子。

如果既不是的幺元也不是的零元，而且
1.蕴含或者，则称是一个不可约元。
2.蕴含或者，则称是一个素元。

若且，则称作的一个公因子。若是的公因子，且对任意的，蕴含，则称是的最大公因子，记作。相应的，若且，则是的公倍数。若是的公倍数，且对任意的，蕴含，则称是的最小公倍数，记作。显然，。

和之前交换幺环中素理想和极大理想的刻画相对应，下面给出整环中素元和不可约元的刻画。设是一个整环，，那么
1.当且仅当，也当且仅当，因此当且仅当；另外，若是的一个真因子，则；
2.是素元当且仅当是非零素理想，因此如果主理想是非零极大理想，则是素元；
3. 素元都是不可约元，因此如果主理想是非零素理想，则是不可约元。

在一般的整环中，不可约元不一定是素元，素理想也不一定是极大理想，但是当是PID时，如下命题成立：

1. 如果是不可约元，则由生成的主理想是极大理想；
2. 不可约元都是素元；
3. 每个非零素理想都是极大理想。

另外，在PID中Bezout等式成立：对于任意的，如果，则是的一个最大公因子，而且存在使得。更一般地，在PID中如果有，那么是的一个最大公因子，而且存在使得。

如果环的理想序列满足，则称是一个理想升链。如果整环的元素序列满足，则称是一个因子降链。在PID中，任一理想升链都对应着一个因子降链，反之亦然。事实上，如下事实成立：

1. 主理想整环的任一理想升链的长度都是有限的，即存在正整数使得；
2. 主理想整环的任一因子降链的长度都是有限的，即存在正整数使得。

像上述第二条性质那样的因子降链是有限的性质对于因子分解是必要的，我们将这一性质抽离到一般的整环上。如果整环的任一因子降链都是有限的，则称满足因子链条件。如果整环满足因子链条件，则中任一非零非单位的元素都可以写成有限多个不可约元素的积：

如果额外添加条件：整环的每一个不可约元都是素元，则可以进一步保证上述分解在相伴意义下的唯一性。这样任一非零非单位元素都在相伴意义下具有唯一分解的整环称为唯一分解整环(UFD)，也称作Gauss整环。判定UFD有两个常用的准则：

1. 如果整环满足因子链条件，而且每个不可约元都是素元，则是UFD；
2. 如果整环满足因子链条件，而且每一对元素都有最大公因子，则是UFD。

根据第一条准则，PID显然是UFD。反之，UFD是PID当且仅当如下条件之一成立：
1.总是可以表示为和的线性组合；
2.的每个不可约元生成的主理想都是极大理想。

剩下一类重要的整环是欧几里得整环。设是一个整环，如果存在一个的乘法半群到的一个函数，使得对于任一对元素，其中，都有带余除法成立，即存在满足
1.；
2.或者;

则称是一个欧几里得整环(ED)。不难证明所有EU都是PID，因此

扭元、扭模

从现在开始要求至少是含幺交换环。

设是一个-模，，则

是的一个理想，称为的零化子(annihilator)或阶(order)。如果，则称是一个扭元 (或者挠元、有限阶元, torsion element)。

构造同态

注意到，所以根据模同态基本定理可知。

对于-模，定义

当是整环时，是的子模，称为的扭子模。（如果不是整环，可能不具有子模结构）

如果，则称是一个扭模或者挠模(torsion module)，如果，则称是一个无扭模。

命题 如果是整环，则
1.是无扭模；
2. 如果，则且。

注：第一条结论可以直接验证，第二条结论可以借助下面的交换图表来说明。事实上，下图中是同构当且仅当和是同构。（必要性只需对取逆，充分性需要使用一次蛇形引理）

导出和

值得注意的是，如果是单同态，则诱导同态也一定是单同态，然而如果是满同态，诱导同态不一定是满同态，例如由-模正合列诱导的序列不再是正合列。为了保证诱导同态的满性，需要添加额外的条件，比较常见的是要求是可除模或者是无扭模，此时可以保证短正合列诱导得到的也是正合列。

由上述命题可知，序列

是正合列（可能不分裂），其中是无扭模，是扭模。特别地，当这一正合列分裂时有，于是此时可以视作一个扭模和一个无扭模的直和。

后续我们之所以特别关注PID上的有限生成无扭模，就是因为这类模可以像上面那样被分解为一个无扭模和一个扭模的直和，通过分别研究无扭部分和扭子模部分，使得我们可以完全刻画出这类模的结构。

有限生成无扭模

从现在起我们进一步要求是PID。这一节处理有限生成模的无扭部分。

关于有限生成无扭模的第一个重要结论是：PID上的有限生成无扭模都是自由模。（这一命题中PID的条件是必要的，在一般的整环上结论不一定成立，例如考察，可以证明无扭，但不是自由模）为了说明这一结论，需要如下引理：

引理 设是PID，是由个元素生成的-模，则的子模可由至多个元素生成。

Proof. 关于的生成元个数做数学归纳法。当时，是循环模 (由单个元素生成的模)，所以(考虑映射，可知是满同态，是的理想，由同态基本定理可知；另一方面，自然是循环模；这样我们实际上说明了-模是循环模当且仅当存在理想使得)。如果是的子模，则也是循环模 (其中，，。另一种证明方式是借助环的对应定理可知)，所以生成元个数为1，结论成立。现在假设结论对于成立，考虑的子模。令，考虑正合列

因为子模的交还是子模，所以是的子模，由归纳假设可知可由至多个元素生成，不妨设，其中。另一方面根据同态第二基本定理可知

所以要么是的非零子模，要么是零模。当是零模时，，所以是的子模，于是由归纳假设直接可知可由至多个元素生成。当是的非零子模时，因为是循环模，根据上面的讨论，也是循环模。于是是有限生成的，，所以结论对于也成立。由数学归纳法可知结论对于任意成立。

一种更简洁的证明是直接使用Horseshoe引理：如果正合列

中的由个元素生成，由个元素生成，则由至多个元素生成。（证明只需将取逆，说明由和生成）

注：上述命题在一般的整环上不一定成立。

接下来我们就可以来说明下面关键的定理：

Finitely Generated Torsion-free Module

有限生成无扭模是自由模。

Proof. 设是一个有限生成无扭模：，关于使用数学归纳法。当时，循环模无扭表明

是同构，所以是自由模。现在假设结论对于成立，考虑，令

于是是的子模，并且的构造保证了是无扭的（如果存在非零使得，即，那么根据的定义就有，因此。在一般情况下，商模不一定是无扭的）。又因为，所以是由个元素生成的无扭模，根据归纳假设是自由模 (进而是投射模)，于是正合列

分裂，进而是自由模。至此我们只需说明是一个秩为1的自由模即可。对于任一的，根据的定义，存在使得，其中。考虑从到的商域的映射

可以验证良定、是单射并且保持加法和乘，进而是一个单同态，于是是的一个有限生成无扭子模 (同态将扭元映到扭元，而同态基本定理保证，根据上一个引理可知继承了的有限生成性，从而也是有限生成的)，记

则映射

是单同态，所以。又因为

所以由引理可知作为循环模的子模是一个秩为1的自由模，进而也是一个秩为1的自由模。由归纳法可知结论对于任意成立。

作为上面定理的推论，让我们暂时回到一般的有限生成模，以下重要事实为真：

推论 设是PID，是有限生成-模，则

1. 是有限生成自由-模，并且
   
2. 当且仅当且，也当且仅当且。

第一条关键性结论是之后的结构定理的基础，它说明对PID上的有限生成模的研究等价于分别研究无扭部分和扭子模部分。第二条结论说明了模的同构关系可以通过无扭部分和无扭部分的秩来刻画。

该推论的证明只需注意到商模无扭，于是根据上面的定理，是有限生成自由模，进而是一个投射模，根据投射模的性质可知正合列

分裂，所以。第二条结论是第一条结论的直接推论。

接下来我们考虑其他常见的模的扭元结构。首先考虑平坦模，为此需要一个引理：

引理 如果模的所有有限生成子模都是平坦模，则是平坦模。

Proof. 根据定义，要说明是平坦模只需说明任一单同态诱导出的也是单的，为此我们考察。根据张量积的定义，任意都形如是一些单张量积的有限和，并且根据张量积的双线性有

其中的求和均是有限求和，，，，。令，则是的有限生成子模，根据引理的条件可知是单射，而，所以，于是是单射，进而是平坦模。

注意到如果是PID上的有限生成无扭模，则自身以及它的子模都是有限生成的自由模，从而也是平坦模，因此根据上面的引理可知自身是平坦模。反过来，如果是平坦模，设是一个非零扭元，则存在使得，于是(其中，诱导)，这与平坦模的定义矛盾，所以，即是无扭模。于是我们有如下关于PID上平坦模的刻画：

推论 设是PID，是有限生成-模，则是平坦模当且仅当是无扭模。

接下来我们考虑投射模，直接使用本节的第一个引理可知PID上的有限生成自由模的任意子模都是自由模，而且。事实上，我们可以将这一结论推广到一般的非有限生成模上：

命题 设是PID，是自由-模，是的子模，则也是自由-模，并且。

证明需要借助Zorn引理，这里不再详述。

扭模的结构

在扭子模的刻画中，最核心的概念是准素。

定义 设是主理想整环的一个非零素理想 (从而也是极大理想)，是-模，如果任意都存在正整数使得，则称是一个-准素模 (-primary module)。对于任意-模，定义它的-准素部分为

这一记号在之前的模论初步 中也有用到，在那里是被视作-模的，此处我们稍微滥用了一下记号，原本的

视作-模是一个线性空间，而本节新定义的可被视作由所有商模对应的典范映射核的和构成的子模。

关于扭模结构的第一个重要事实是扭模可以分解为准素部分的直和（对应于线性代数中的广义特征子空间分解）：

Primary Decomposition of Torsion Module

设是PID，是扭模，则可以分解为准素部分的直和： 其中取遍的所有非零素理想。

Proof. 证明分成两部分：

1. 。考察任意，因为是PID，所以。由于PID是唯一分解整环，因此存在素因子分解
   
   其中，是不同的非零素元，。令，则，进而。又因为互素，所以由的构造可知，根据Bézout等式，存在满足
   
   于是。另一侧的包含关系是显然的，所以。
2. 记，则。考虑任意，一方面因为，所以存在使得；另一方面由可知
   
   于是存在使得。因为互素，所以，根据Bézout等式可知存在使得，于是。

特别地，如果是有限生成的，则，这是因为若，根据上面的证明，每一个都落在有限个的和中，因此只需要有限个就可以包含整个，又因为它们的交为零，所以上述定理中的直和是有限直和。

推论 设和是扭模，则当且仅当对于任意非零素理想都有。（充分性由上面的定理保证，必要性可以直接验证）

当是非零素理想时，因为是PID，所以是极大理想，于是是域。对于任意有限生成-模，是有限生成-模，进而是有限维-向量空间。

如果是模，是内的理想，则。而可以视作-模，这是因为任给，由双线性映射，可以诱导出，，于是可以构造乘映射：，。

借助空间的性质现在定义有限生成模的两个不变量：

定义 设是PID，是有限生成-模，称

为在非零素理想处的深度。对于，定义

根据以上定义，是有限生成扭模时，当且仅当，从而也当且仅当的-准素部分。

第二个关键性结论是准素部分的结构（对应于线性代数中的Jordan分解）：

Primary Module

设是PID，是有限生成-准素模，则是有限多个循环-准素模的直和： 其中分量出现的次数等于，它由唯一决定。

为了证明这一定理，需要先引入一个引理：

引理 设是PID，是有限生成-准素扭模，满足，。设使得。令，则

1. 对于任意的，都有；
2. 。

我们先假设上述引理成立，现在使用该引理证明上面的定理。

Proof of Theorem. 证明分成两部分：

1. 是形如的模的直和。这一步要关于使用数学归纳法：
   当时，设作为一维向量空间的一个基为，相应的满足而。因为，所以对于任意以及相应的，都存在使得，从而存在满足，而且
   
   对上面得到的进行类似的操作，可以得到，所以
   
   重复上述过程并注意到可得
   
   其中是任意大的自然数，。因为是有限生成-准素模，因此存在足够大的零化任意内的元素，所以
   
   因此由生成，且，所以命题1在时成立。
   现在假设命题1对于成立，考虑的情况。取满足而，要求，即是中一个最高阶的扭元（存在性由的有限生成性保证）。现在考虑，根据上面的引理可知
   
   于是由归纳假设是循环模的直和，而且也是循环模。现在设的阶为，令是的一个原像，则。我们需要将调整到一个更好的原像，使得新的原像在上的阶与在上的阶相同。借助上面引理可知存在满足。因此
   
   是的另一个原像，阶与相同都为，而且，至此我们有
   
   下面只需说明是的直和。按照一般的惯例，考虑
   
   两侧同时模掉可得
   
   使用归纳假设可知是直和，所以，又因为和同阶，所以对于成立，进而也有，所以是的直和。
2. 直和分解唯一。设，则注意到
   
   因此
   
   上式第二部分使用了同构基本定理：。由于上式中右端的每一个直和项都为作为线性空间的直和整体贡献了一个维数，所以对于任意的，即为在指标中满足的的次数之和，所以分量中的的出现次数为。这一数量由自身决定，所以分解唯一。

这一小节的最后给出之前的引理的证明。

Proof of Lemma. 首先考虑第一条结论。如果，其中，，且，下面说明存在使得。当时，于是只需令。当时，若，则，所以只需令；若，则有

与矛盾，因此这种情况不可能发生。
现在考虑第二条结论。使用(第三)模同构基本定理可知

再使用(第二)模同构基本定理可知

其中最后借助了第一条结论：，这里的与都是上的线性空间，后者可以视作前者的子空间，因此由同构

可知结论成立。

有限生成模的刻画

最后我们给出PID上有限生成模的刻画。归纳前面得到的结论可知，当是PID上的有限生成-模时，首先可以分解成一个自由模和它的扭子模的直和，即

其中是自由模，而且由于是有限生成的，所以的一组基中的元素数量有限，从而存在使得

另一方面，是扭模，根据上一节的第一个定理可知可以分解为准素部分的直和：

并且其中每一个直和项作为的子模都是有限生成的-准素模，于是由上一节的第二个定理可知是有限多个循环-准素模的直和：

其中只有有限个不为零。将以上事实综合起来，我们就得到了PID上有限生成模的结构定理：

Structure Theorem of Finitely Generated Module on PID

设是PID，是有限生成-模，则 其中 是由唯一确定的完全不变量。去掉所有的分量，则唯一同构于有限个模的直和： 其中是非零素理想，。

我们称上述定理中的为模的初等因子组，其中每个元素都是初等因子，将这些初等因子按次数降序（）如下排列

记其中每一列的乘积为

其中缺失值使用0，设最小的非零项为，令称为不变因子，它们满足（的地位类似于极小多项式）。根据中国剩余定理可知

于是结构定理中的有限生成扭子模部分可以写为

中国剩余定理：如果是模，都是的理想，其中任意两个理想的和都为，则映射

诱导同构

相抵标准型理论

最后我们从模论的角度提供一种更高级的看待线性代数中相抵标准型理论的视角。本节中出现的环都是PID。

任给是一个阶的矩阵，则有如下正合列

其中。这里的是用来研究有限表现模的一个重要工具。所谓有限表现模是指存在有限生成的自由模，使得是正合列的模。本质上任意有限表现模都具有上面的形式，即存在某个矩阵使得它诱导的满足

事实上，可以证明如果相抵，则（反之可能不成立）。在这里“相抵”的意义与线性代数中相同，即存在和使得。的证明依赖于如下交换图：

诱导与之间的同态

使用之前建立的有限生成模的结构定理可知，如果是一个PID上的有限生成模，则形如

这说明存在如下满同态

于是存在如下正合列

其中，，因此PID上的有限生成模实际上都是有限表现模，从而可以使用上面介绍的研究有限表现模的方法来分析它们的结构。

使用矩阵方法研究有限生成模

一般而言，很难直接给出有限生成模的结构，然而可以相对容易地构造一个合适的从自由模到的满同态，要求它的核也是自由模，现在就可以按照上图所示的方式诱导出一个自由模之间的同态，于是可被视为的余核，我们的任务转变为寻找对应的矩阵，通过将矩阵相抵到标准型，借助之前的结论可知，从而通过分析简单的的结构就能得到的结构。如下图所示。

借助相抵标准化研究模的结构

在使用上述方式前需要解决一些技术性问题。最重要的问题是如何在PID上进行矩阵的相抵标准化。如果是ED，则可以使用带余除法，通过行列初等变换不断使指定位置上的元素在相应的函数下的值下降，从而将矩阵相抵到对角形式。如果只是PID，此时无法使用带余除法，但是唯一分解仍然成立，这种情况下进行初等变换的目标变为使指定位置的元素的素因子分解的长度和指数不断下降，需要利用到最大公因子和Bézout等式。例如在处理第一列时使用初等变换的格式如下所示

左侧矩阵添加第二行是为了保证它的可逆性，这里满足，通过不断交换行可以将替换为第一列的其他元素，从而不断地让左上角的元素的素因子分解长度减小，直到最后第一列第一个元素是第一列上其他元素的公因子，此时可以就可以通过列变换将除了第一个元素之外的其他元素都变为零，从而完成第一列的相抵标准化。对于其他列的相抵标准化也是类似的。

当被相抵标准化到对角矩阵（可能不是方阵），即

按照上述方式得到的可以满足，于是

进而由

可知

因为在同构意义下矩阵的余核在相抵变换前后保持不变，我们就得到了