交换代数初步

约定本文中出现的所有环都是含幺交换环。给定环，记它的乘法单位群为，称它的所有素理想构成的集合为它的素谱，称它的所有极大理想构成的集合为它的极大谱。

Noether环/模与Artin环/模

Noether环与Noether模是交换代数中的重要概念，同时也是代数几何中的关键对象，在进行研究时要求被分析的环或模具有Noether性通常被认为是合理的，因为一般而言让人感兴趣的环或模都是Noether的。

Why are noetherian rings such natural objects in algebraic geometry?
The best answer I’ve ever been able to come up with is that the class of noetherian rings contains the classical number rings and and is closed under the formation of polynomial rings, localization, completion, and quotients. So it contains many of the rings you will come across in ordinary situations (whatever that means). It also has the advantage that the definition is tractable enough that if someone hands you an explicit ring, it’s not out of the question to try to work out from scratch whether it’s noetherian. If you’re the kind of person who likes abstract fields, then they’re also included.
On the other hand, I don’t think of it as a truly fundamental concept, like say finite presentation. But there is no denying its convenience. If you need to avoid some infinitary phenomena but you still want a broad class of rings, it’s often hard to beat noetherianness. It’s also quite good in situations where you’re too lazy to work out exactly what finiteness conditions you care about.

相比Noether环和Noether模，具有相似定义的Artin环和Artin模却更加稀少，事实上可以证明所有的Artin环都是Noether环，而Artin模与Noether模互不包含，这使得环和模的Noether性要比Artin性更值得关注。

Noether环

定义 如果交换环的所有理想都是有限生成的，则称是Noether环。

根据上述定义，所有的域和PID都是Noether环。

下面给出Noether环的重要等价刻画。

Noether Ring

给定交换环，是Noether环当且仅当下述条件之一成立：

1. (ACC条件) 满足升链条件，即的任意理想升链 都稳定，换言之，存在整数使得对任意成立。
2. (极大性条件) 中任意由理想构成的非空集合族内都有极大元，即存在使得对于任意的和都有。
3. (原始定义) 的任意理想都是有限生成的。

Hint: 验证 (1) (2) (3) (1):
(1) (2) 反证，在内构造一个不稳定的理想升链。
(2) (3) 给定理想，考虑包含在中的所有有限生成理想的集合，根据极大性条件，内有极大元，如果存在但，注意到依然有限生成，所有，所有有限生成。
(3) (1) 给定一个理想升链，设，则由Noether性可知有限生成，设，设其中的，令，则，进而。

根据上述刻画，有以下几个推论：

1. 设是Noether环，是的真理想，则存在极大理想。特别地，Noether环存在极大理想。
2. 设是Noether环，是的真理想，则商环是Noether环。

其中第一条推论的证明只需对由的全体包含的真理想组成的集族使用极大性条件；第二条推论依赖于环的对应定理，的理想均形如，因为是有限生成的，所以也是有限生成的。

Hilbert Basis Theorem

如果是Noether环，则它的多项式环也是Noether环。

事实上，当是Noether环时，它的幂级数环也是Noether环，中的元素形如

Noether模

Noether Module

给定交换环，是Noether模当且仅当下述条件之一成立：

1. (ACC条件) 满足升链条件，即的任意子模升链 都稳定，换言之，存在整数使得对任意成立。
2. (极大性条件) 中任意由子模构成的非空集合族内都有极大元，即存在使得对于任意的和都有。
3. (原始定义) 的任意子模都是有限生成模。

值得注意的是，环是Noether环当且仅当是Noether模。

命题 Noether模具有如下性质：

1. Noether模的子模和商模均为Noether模。
2. 如果和是Noether模，且
   
   是短正合列，则是Noether模。
3. Noether模的有限直和仍然是Noether模。
4. 如果都是Noether模，则也是Noether模。
5. 设是Noether环，是有限生成-模，则是Noether模。

Artin环与Artin模

Artin Ring and Artin Module

给定交换环，以如下方式定义Artin环和Artin模：

1. 如果满足降链条件(DCC)，即的任意理想降链 都稳定，换言之，存在整数使得对任意成立，则称是Artin环。
2. 如果满足降链条件(DCC)，即的任意子模降链 都稳定，换言之，存在整数使得对任意成立，则称是Artin模。

是Artin模的等价刻画：

1. (DCC条件) 中任意子模降链均稳定；
2. (极小性条件) 内任意非空子模族内都有极小元，即存在使得对于任意的和都有。

命题 设是Artin环，则

1. 环中只有有限多个极大理想，即的极大谱是有限集合。
2. 商环同构于
   
   是有限多个域的直积。
3. 环中的素理想都是极大理想，理想是中所有幂零元构成的理想，且存在正整数使得。
4. 有如下环同构
   
   其中的都是Artin环，且有唯一极大理想。
5. Artin环都是Noether环。
6. 。

局部化

局部化是抽象代数中由整环构造分式域这一想法在一般的环和模上的推广，通过局部化可以引入乘法逆元。

Why do the Localization of a Ring?
Localization is a technique which allows one to concentrate attention to what is happening near a prime, for example. When you localize at a prime, you have simplified abruptly the behavior of your ring outside that prime but you have more or less kept everything inside it intact.
For lots of questions, this significantly simplifies things.
Indeed, there are very general procedures, in lots of contexts, which go by the name of localization, and their purpose is usually the same: if you are lucky, the problems you are interested in can be solved locally and then the “local solutions” can be glued together to obtain a solution to your original problem. Moreover, an immense deal of effort has been done in order to extent the meaning of “local” so as to be able to apply this strategy in more contexts: I have always loved the way the proofs of some huge theorems of algebraic geometry consist more or less in setting up an elaborate technology in order to be able to say the magical “It is enough to prove this locally”, and then, thanks to the fact that we worked so much in that technology, immediately conclude the proof with a “where it is obvious”.
Of course, all sort of bad things can happen. For example, sometimes the “local solutions” cannot be glued together into a “global solution”, &c. (Incidentally, when this happens, so that you can do something locally but not glue the result, you end up with a cohomology theory which, more or less, is the art of dealing with that problem)

环的局部化

称交换环上的乘法含幺半群，即是的子集且满足

1. 含幺：；
2. 乘法封闭：蕴含；

为上的乘性集(或乘法集)。给定交换环和其上的一个乘性集，可以在上定义一个等价关系“”：考虑，如果

则称。记在这一等价关系在中诱导的等价类形如，并记所有等价类组成的集合为，称为在处的局部化。

关于等价类的加法和乘法是一个含幺交换环，其中等价类的加法和乘法为：

不难验证这样定义的加法和乘法的良定性，并且在这样的加法和乘法下满足环的公理，其中单位元为，乘法的交换性是显然的。

现在考虑如下典范环同态：

可以验证将映到单位群中，更确切地讲，任给，在内都有逆元。此外我们还有如下观察：

1. 当是整环时，是单同态，此时也是整环；
2. 如果，则。

另外，只需检验是否与相同即可说明，当且仅当。

现在给出环的局部化的泛性质：给定环同态，如果在内某个乘性集上的限制的像都是中的单位，则存在唯一的环同态使得，如下图所示。

环的局部化的泛性质

事实上，整环的分式域是在处的局部化，即。只需验证满足局部化的泛性质：注意到和之间存在典范同态，而对于任意从环到域的单同态都有唯一的域嵌入使得。

模的局部化

相比于环，模具有更多的可供利用的性质，比如模范畴作为Abel范畴，其上可以谈论正合列和函子的整合性，在此基础上可以得到众多强大的结论，而环范畴并不是Abel范畴，所以在这一点上天然地不如模范畴性质更好，因此模的局部化是一个更有价值的话题。

给定交换环以及-模，是上的乘性集，在集合上定义等价关系“”：，当且仅当

可以验证满足自反、对称和传递性，从而确实是一个等价关系，于是与之前类似，记在这一等价关系下的等价类为，并记所有等价类构成的集合为，称为模在处的局部化。在上定义加法和-乘：

这两个运算的良定性可以通过等价关系的定义直接验证，并且关于加法构成交换群，-乘具有恒等元、满足结合律和分配律，于是是-模。注意到借助之前的典范映射，可以定义-乘：

因此也可以视作-模。另外，可以类似地定义模的局部化的典范同态

现在给出模的局部化的泛性质：设是-模，是-模。如果是-模同态，那么存在唯一的-模同态使得，即下图交换。

模的局部化的泛性质

关于模的局部化的一个重要结论是它与基变换之间的联系：

命题 存在与作为-模的之间的自然-同构：

要证明以上结论只需说明良定、是一个-模同态，并且存在一个逆映射，良定性的验证需要使用到张量积的性质，验证同态是平凡的，最后逆映射的构造可以借助张量积的泛性质：注意到

是一个双线性映射，根据张量积的泛性质可知存在唯一的-模同态

直接验证可知是的逆映射。

上述同构的“自然”之处在于它揭示的是范畴间函子的性质：函子

是一个正合函子。因为自然是右正合的，所以为了证明上述结论只需说明是一个平坦模。要看到这一点首先需要注意到给定-模同态，使用上述自然同构可知以及，而另一方面，模的局部化同时诱导了模同态的局部化：

同时基变换也诱导了张量积的基变换：

事实上，如下图表交换，从而如果是一个单同态，则交换性保证也是一个单同态。

模的局部化与张量积的联系

又因为下述命题成立：

命题 设是-模，是上的乘性集，函子

是一个正合函子。

（这一命题的证明几乎是平凡的，只需直接验证正合列

诱导的

也是一个正合列。）

基于以上命题，给定正合列

考虑如下图表，由函子的正合性可知是单射，而下述图表的交换性保证的交换性，由此可知是平坦-模，从而是一个正合函子。

是平坦-模

扩张与收缩

对于环中的理想，称为在中的扩张理想；对于局部化环中的理想，称是在中的收缩理想。

现在中的理想与中的理想具有扩张和收缩两种关系：

从左到右的映射记作，从右到左的映射记作。自然地，希望考察这两种映射之间的关系，我们有以下事实：

1. 任给中的理想，;
2. 任给中的理想，。

上述事实说明是满的，而是单的，故局部化作为环，尽管比大，但是中的理想数量要比少。由此可知，如果是Noether环，那么局部化也是Noether环。事实上，我们可以进一步考虑两者的素谱：

命题 设是环，是上的乘性集，则中与不交的素理想与中的素理想一一对应：

因此尽管作为环要比更大，但是它的素谱却要比的素谱更小。

整性

根式理想与准素理想

仿射代数几何初步

Gröbner基

课程笔记

课程笔记	主要内容
[Lecture 14]	Noether环
[Lecture 15]	Noether模，Artin环和Artin模