交换代数初步

约定本文中出现的所有环都是含幺交换环。给定环，记它的乘法单位群为，称它的所有素理想构成的集合为它的素谱，称它的所有极大理想构成的集合为它的极大谱。

Noether环/模与Artin环/模

Noether环与Noether模是交换代数中的重要概念，同时也是代数几何中的关键对象，在进行研究时要求被分析的环或模具有Noether性通常被认为是合理的，因为一般而言让人感兴趣的环或模都是Noether的。

Why are noetherian rings such natural objects in algebraic geometry?
The best answer I’ve ever been able to come up with is that the class of noetherian rings contains the classical number rings and and is closed under the formation of polynomial rings, localization, completion, and quotients. So it contains many of the rings you will come across in ordinary situations (whatever that means). It also has the advantage that the definition is tractable enough that if someone hands you an explicit ring, it’s not out of the question to try to work out from scratch whether it’s noetherian. If you’re the kind of person who likes abstract fields, then they’re also included.
On the other hand, I don’t think of it as a truly fundamental concept, like say finite presentation. But there is no denying its convenience. If you need to avoid some infinitary phenomena but you still want a broad class of rings, it’s often hard to beat noetherianness. It’s also quite good in situations where you’re too lazy to work out exactly what finiteness conditions you care about.

相比Noether环和Noether模，具有相似定义的Artin环和Artin模却更加稀少，事实上可以证明所有的Artin环都是Noether环，而Artin模与Noether模互不包含，这使得环和模的Noether性要比Artin性更值得关注。

Noether环

定义 如果交换环的所有理想都是有限生成的，则称是Noether环。

根据上述定义，所有的域和PID都是Noether环。

下面给出Noether环的重要等价刻画。

Noether Ring

给定交换环，是Noether环当且仅当下述条件之一成立：

1. (ACC条件) 满足升链条件，即的任意理想升链 都稳定，换言之，存在整数使得对任意成立。
2. (极大性条件) 中任意由理想构成的非空集合族内都有极大元，即存在使得对于任意的和都有。
3. (原始定义) 的任意理想都是有限生成的。

Hint: 验证 (1) (2) (3) (1):
(1) (2) 反证，在内构造一个不稳定的理想升链。
(2) (3) 给定理想，考虑包含在中的所有有限生成理想的集合，根据极大性条件，内有极大元，如果存在但，注意到依然有限生成，所有，所有有限生成。
(3) (1) 给定一个理想升链，设，则由Noether性可知有限生成，设，设其中的，令，则，进而。

根据上述刻画，有以下几个推论：

1. 设是Noether环，是的真理想，则存在极大理想。特别地，Noether环存在极大理想。
2. 设是Noether环，是的真理想，则商环是Noether环。

其中第一条推论的证明只需对由的全体包含的真理想组成的集族使用极大性条件；第二条推论依赖于环的对应定理，的理想均形如，因为是有限生成的，所以也是有限生成的。

Hilbert Basis Theorem

如果是Noether环，则它的多项式环也是Noether环。

事实上，当是Noether环时，它的幂级数环也是Noether环，中的元素形如

Noether模

Noether Module

给定交换环，是Noether模当且仅当下述条件之一成立：

1. (ACC条件) 满足升链条件，即的任意子模升链 都稳定，换言之，存在整数使得对任意成立。
2. (极大性条件) 中任意由子模构成的非空集合族内都有极大元，即存在使得对于任意的和都有。
3. (原始定义) 的任意子模都是有限生成模。

值得注意的是，环是Noether环当且仅当是Noether模。

命题 Noether模具有如下性质：

1. Noether模的子模和商模均为Noether模。
2. 如果和是Noether模，且
   
   是短正合列，则是Noether模。
3. Noether模的有限直和仍然是Noether模。
4. 如果都是Noether模，则也是Noether模。
5. 设是Noether环，是有限生成-模，则是Noether模。

有限生成-模的子模不一定有限生成 考虑正则模，其中是交换幺环，则由单位元有限生成，它的子模即为的理想，因此为了构造一个这样的反例，只需寻找某个环，它的某个理想并不有限生成，自然的想法是考虑某个非Noether环，例如考察二元多项式环的子环，该子环不是Noether环：理想升链不稳定，因此根据Noether环的等价刻画，中存在某个理想不是有限生成的(直觉上可取)，故虽然是有限生成的，子模却不是有限生成的。

Artin环与Artin模

Artin Ring and Artin Module

给定交换环，以如下方式定义Artin环和Artin模：

1. 如果满足降链条件(DCC)，即的任意理想降链 都稳定，换言之，存在整数使得对任意成立，则称是Artin环。
2. 如果满足降链条件(DCC)，即的任意子模降链 都稳定，换言之，存在整数使得对任意成立，则称是Artin模。

是Artin模的等价刻画：

1. (DCC条件) 中任意子模降链均稳定；
2. (极小性条件) 内任意非空子模族内都有极小元，即存在使得对于任意的和都有。

Remark. 对于域，-模是Artin模当且仅当是Noether模，当且仅当是有限维-线性空间。另外，给定正合列

则是Artin模当且仅当和都是Artin模。

Example. 设是Noether环，若，则都是Artin局部环。

Answer. 首先说明局部性。若使得，则两侧取根理想可得，因为是极大理想，所以，即是包含的唯一极大理想，于是有唯一极大理想。

下面说明是Artin环。注意到有如下正合列

其中作为-模有限生成，其中是域，根据上面的注解，是有限维-线性空间从而是Artin-模。又因为-模结构可由诱导，于是也是-模，因此根据由归纳法可知任意都有是Artin-模。

命题 设是Artin环，则

1. 环中只有有限多个极大理想，即的极大谱是有限集合。
2. 商环同构于
   
   是有限多个域的直积。
3. 环中的素理想都是极大理想，理想是中所有幂零元构成的理想，且存在正整数使得。
4. 有如下环同构
   
   其中的都是Artin环，且有唯一极大理想。
5. Artin环都是Noether环。
6. 。

最后，模的长度有限当且仅当既是Artin模又是Noether模，其中为的合成链

的长度，上式中的每一个都是单模。

局部化

局部化是抽象代数中由整环构造分式域这一想法在一般的环和模上的推广，通过局部化可以引入乘法逆元。

Why do the Localization of a Ring?
Localization is a technique which allows one to concentrate attention to what is happening near a prime, for example. When you localize at a prime, you have simplified abruptly the behavior of your ring outside that prime but you have more or less kept everything inside it intact.
For lots of questions, this significantly simplifies things.
Indeed, there are very general procedures, in lots of contexts, which go by the name of localization, and their purpose is usually the same: if you are lucky, the problems you are interested in can be solved locally and then the “local solutions” can be glued together to obtain a solution to your original problem. Moreover, an immense deal of effort has been done in order to extent the meaning of “local” so as to be able to apply this strategy in more contexts: I have always loved the way the proofs of some huge theorems of algebraic geometry consist more or less in setting up an elaborate technology in order to be able to say the magical “It is enough to prove this locally”, and then, thanks to the fact that we worked so much in that technology, immediately conclude the proof with a “where it is obvious”.
Of course, all sort of bad things can happen. For example, sometimes the “local solutions” cannot be glued together into a “global solution”, &c. (Incidentally, when this happens, so that you can do something locally but not glue the result, you end up with a cohomology theory which, more or less, is the art of dealing with that problem)

环的局部化

称交换环上的乘法含幺半群，即是的子集且满足

1. 含幺：；
2. 乘法封闭：蕴含；

为上的乘性集(或乘法集)。给定交换环和其上的一个乘性集，可以在上定义一个等价关系“”：考虑，如果

则称。记在这一等价关系在中诱导的等价类形如，并记所有等价类组成的集合为，称为在处的局部化。

关于等价类的加法和乘法是一个含幺交换环，其中等价类的加法和乘法为：

不难验证这样定义的加法和乘法的良定性，并且在这样的加法和乘法下满足环的公理，其中单位元为，乘法的交换性是显然的。

现在考虑如下典范环同态：

可以验证将映到单位群中，更确切地讲，任给，在内都有逆元。此外我们还有如下观察：

1. 当是整环时，是单同态，此时也是整环；
2. 如果，则。

注：当时，可以验证任意都有，所以这种情况下，此时平凡，因此一般在做局部化时选取的乘性集都不包含。常见的乘性集包括：，， (是的素理想，)。
事实上，只需检验是否与相同即可说明，当且仅当。

现在给出环的局部化的泛性质：给定环同态，如果在内某个乘性集上的限制的像都是中的单位，则存在唯一的环同态使得，如下图所示。

环的局部化的泛性质

事实上，整环的分式域是在处的局部化，即。只需验证满足局部化的泛性质：注意到和之间存在典范同态，而对于任意从环到域的单同态都有唯一的域嵌入使得。更一般地，如果环同态的限制满足，则任意都有可逆，于是存在唯一的：

满足，其中是典范同态。特别地，由于

所以是的幺元，从而满足泛性质的要求，使用作为同态的性质可以得到它的至多唯一性，于是满足局部化的泛性质。

模的局部化

相比于环，模具有更多的可供利用的性质，比如模范畴作为Abel范畴，其上可以谈论正合列和函子的整合性，在此基础上可以得到众多强大的结论，而环范畴并不是Abel范畴，所以在这一点上天然地不如模范畴性质更好，因此模的局部化是一个更有价值的话题。

给定交换环以及-模，是上的乘性集，在集合上定义等价关系“”：，当且仅当

可以验证满足自反、对称和传递性，从而确实是一个等价关系，于是与之前类似，记在这一等价关系下的等价类为，并记所有等价类构成的集合为，称为模在处的局部化。在上定义加法和-乘：

这两个运算的良定性可以通过等价关系的定义直接验证，并且关于加法构成交换群，-乘具有恒等元、满足结合律和分配律，于是是-模。注意到借助之前的典范映射，可以定义-乘：

因此也可以视作-模。另外，可以类似地定义模的局部化的典范同态

现在给出模的局部化的泛性质：设是-模，是-模。如果是-模同态，那么存在唯一的-模同态使得，即下图交换。

模的局部化的泛性质

关于模的局部化的一个重要结论是它与基变换之间的联系：

命题 存在与作为-模的之间的自然-同构：

要证明以上结论只需说明良定、是一个-模同态，并且存在一个逆映射，良定性的验证需要使用到张量积的性质，验证同态是平凡的，最后逆映射的构造可以借助张量积的泛性质：注意到

是一个双线性映射，根据张量积的泛性质可知存在唯一的-模同态

直接验证可知是的逆映射。

上述同构的“自然”之处在于它揭示的是范畴间函子的性质：函子

是一个正合函子。因为自然是右正合的，所以为了证明上述结论只需说明是一个平坦模。要看到这一点首先需要注意到给定-模同态，使用上述自然同构可知以及，而另一方面，模的局部化同时诱导了模同态的局部化：

同时基变换也诱导了张量积的基变换：

事实上，如下图表交换，从而如果是一个单同态，则交换性保证也是一个单同态。

模的局部化与张量积的联系

又因为下述命题成立：

命题 设是-模，是上的乘性集，函子

是一个正合函子。

（这一命题的证明几乎是平凡的，只需直接验证正合列

诱导的

也是一个正合列。）

基于以上命题，给定正合列

考虑如下图表，由函子的正合性可知是单射，而下述图表的交换性保证是单射，由此可知是平坦-模，从而是一个正合函子。

是平坦-模

扩张与收缩

对于环中的理想，称为在中的扩张理想；对于局部化环中的理想，称是在中的收缩理想。

现在中的理想与中的理想具有扩张和收缩两种关系：

从左到右的映射记作，从右到左的映射记作。自然地，希望考察这两种映射之间的关系，我们有以下事实：

1. 任给中的理想，（先扩张再收缩得到的理想包含原理想）
2. 任给中的理想，（中的理想都是扩张理想）

上述事实说明是满的，而是单的，故局部化作为环，尽管比大，但是中的理想数量要比少。由此可知，如果是Noether环，那么局部化也是Noether环。特别地，我们可以进一步通过考虑这两者的素理想之间的关系以分析它们的素谱：

命题 设是环，是上的乘性集，则中与不交的素理想与中的素理想一一对应：

因此与一般的情况类似，尽管作为环要比更大，但是它的素谱却要比的素谱更小。

最后不加证明地给出一些关于扩张和收缩的性质：设是-模，是上的乘性集，则

1. 如果是-模的子模，那么有
   • ；
   • ；
   • ；
2. ；
3. 。

局部环

令，则是一个含幺半环，进而作为乘性集可以导出一类重要的局部化，记

根据上一个命题可知保证是的素理想。另一方面，对于任意，。

定义 若交换环只有唯一的极大理想，则称是一个局部环。

Criterion of Local Ring

设是交换环，则下列命题等价：

1. 中有唯一的极大理想；
2. 是的极大理想；
3. 存在极大理想使得。

Proof. (1) (2): 如果，则，于是存在使得，因此。

(2) (3): 唯一的极大理想满足要求。

(3) (1): 若，则，故存在，于是，所以，因此，于是是唯一极大理想。

Criterion of Local Module

设是-模，则下列命题等价：

1. ；
2. 对于的任意素理想成立；
3. 对于的任意极大理想成立。

Proof. (1) (2)和(2) (3)是显然的。只需考虑(3) (1)：反证。若，令，则的零化子

是的一个真理想()。如果，那么并且，这与矛盾。

命题 设是整环，将视作是的子环，则有

Proof. 由于是单射，因此。现在取任意的，考虑

于是当且仅当。下面使用反证法说明：如果，那么是的一个真理想，因此存在极大理想使得。因为，所以存在和使得，即，于是，这与矛盾。

Example. 最后给出几个例子：

1. 任给，是Artin局部环，其中的极大理想为；
2. 设是域，是形式幂级数环，即
   
   则是局部环，且唯一极大理想为，对应的元素构成的子环。
3. （局部与整体）设是两个-模，是模同态，则下列命题等价：
   1. 是单射；
   2. 对于的任意素理想，是单射；
   3. 对于的任意极大理想，是单射。

整性

环的整扩张类似于域的代数扩张：

定义 设是的子环，，则

1. 元素称为在上整是指存在首一多项式使得；
2. 如果中的每个元素都在上整，则称是在上整的，称是的整扩张；
3. 称中所有在中整的元素构成的集合为在内的整闭包；
4. 如果在中的整闭包等于，则称在中整闭；
5. 特别地，称整环在内的整闭包为的正规化。如果在内整闭，即的正规化是它自身，则称是整闭的。

Integral over

设，是的子环，则如下条件等价：

1. 在上整；
2. 是有限生成-模；
3. 存在作为-模有限生成的子环使得且。

其中的是包含和的最小子环，称为和生成的子环：

Proof. (1) (2): 根据定义，在上整说明存在首一多项式使得，于是(此处使用到了定义中要求的首一性)

进而可以看出当时，可由生成，因此由有限生成。

(2) (3): 取。

(3) (1): 设作为-模由生成。因为是环，则由有，因此有

此即

对于任意的成立。现在令，，，则上式可以写作。令矩阵的伴随矩阵，则

因此

又因为，所以，因此。由于是上的首一多项式，所以在上整。

推论 设是的子环，，则

1. 如果都在上整，则和也在上整；
2. 在中的整闭包是中包含的子环；
3. 如果是子环，在上整，在上整，则在上整，即整性具有传递性。

Proof. (1) 根据上一个定理(1到2)，当在上整，和都是有限生成-模，设由生成，由生成，则由生成。注意到作为有限生成的-模同时也是子环，再次使用上一定理(3到1)可知中的任意元素都在上整，所以在上整。

(2) 由(1)可知在中的整闭包关于的加法、减法和乘法封闭，因此是的子环。

(3) 设在上整，则存在某首一多项式零化。又因为该多项式的系数在上整，所以根据上一个定理(1到2)可知是有限生成-模，使用类似于(1)的方法可以归纳地发现是有限生成-模，从而也是有限生成-模，因此由上一命题(3到1)可知在上整。

于是不难看出在中的整闭包在上整闭。

Going-up Theorem

设是环的子环，是的整扩张，则

1. 如果是整环，则是域当且仅当是域；
2. (整扩张下素理想的对应关系) 设，则存在使得。进一步地，当且仅当；
3. (Going-up) 如果关于中的素理想升链 存在中的一条较短的素理想升链 其中，满足，则可以完备化此升链，即存在的素理想使得 是中的素理想升链，并且满足。

Proof. (1) 如果是域，则中的任意非零元素在上整，即存在使得

因为是整环，故，否则，是一个零因子。是域，因此可逆，所以

这说明可逆，即中的任意非零元都可逆，故是域。

反过来，如果是域，作为的子环，其中的任意非零元在中都可逆，即存在，又因为在上整，因此存在使得

因此

所以在中可逆，因此是域。

(2) 若是中的素理想，则是和中的乘性集，于是有如下交换图表

可以由在上整(左列为整扩张)证明在上整(右列为整扩张)。现在令是中的任意极大理想，不难看出是中的一个极大理想，而局部环有唯一极大理想(参见上一节)，因此，令，则，且。

接下来证明第二个断言。注意到在上整，因此是域当且仅当是域，即是极大理想当且仅当是极大理想。

(3) 只需证明当，的情形，对于一般的的情况使用归纳法即可：如果，且，下面证明存在满足，并且。

注意到保证了是的整扩张：

对于任意的，因为在上整，因此存在首一多项式使得，即

由于，因此，否则

这与矛盾。故。

于是根据上面的第二条结论可知存在中的素理想使得，因此的原像即为中包含的素理想，并且满足。

Remark. 定理的第一条结论有如下推论：如果是整环但非域，，是域，则有限生成。

上述定理的第二条建立了如下的一一对应关系：

关于第三条结论，即上升定理，有与之对应的下降定理：

Going-down Theorem

设是整环的子环，是的整扩张，且整闭，则给定中的素理想降链 如果存在中的一条较短的素理想降链 其中，满足，则可以完备化此降链，即存在的素理想使得

定义 设是一个有限域扩张(是的扩域)。对于，令是-线性映射。

1. 称作为线性映射的迹为关于的迹；
2. 称的行列式为关于的行列式；
3. 称对称-双线性映射
   
   为关于的迹形式。

使用以上工具可以证明：如果是扩张次数为的有限可分扩张，则

1. 设在上的最小多项式为，则
   
2. 迹形式是非退化二次型。

进而可以证明以下定理：

Integral Closure

设是整闭的整环，，考虑的有限可分扩张，在中的整闭包是秩为的某自由-模的子模。

关于整闭，有最后一个重要的刻画：设是整环，则以下条件等价：

1. 整闭；
2. 对于任意的，整闭；
3. 对于任意的，整闭。

代数整数

定义 设是有理数域的扩域，

1. 如果在有理整数环上整，则称是上的代数整数 (algebraic integer)；
2. 称在上的整闭包，即中代数整数的全体组成的集合，为域的代数整数环 (ring of algebraic integers)，记作。

命题 是代数整数当且仅当是代数数，并且在中的最小多项式属于。

上述命题常用来判定是否是一个代数整数，一个经典的例子如下：

Example. 设是某一无平方因子数，令为二次数域，则

分析参见讨论：

1. Why is quadratic integer ring defined in that way?
2. Calculate the ring of integers of quadratic number field .

Note: Let be an algebraic number field. Then an element is integral iff its monic irreducible polynomial has integer coefficients. For example, for integer is integral.
If , then the monic irreducible polynomial of over is , so is integral.
Thus the integral closure of in contains the subring , and the subring if . We show that there are no other integral elements.
An element with rational and is integral iff its monic irreducible polynomial belongs to . Therefore, are integers. If , for , then it is easy to see that iff for some , and is divisible by 4. The latter implies that d is a quadratic residue modulo 4, i.e. . In turn, if then every element is integral.
Thus, integral elements of are equal to if , and if .

命题 设是有限扩张，则作为-模是自由模，且秩为的扩张次数。

命题 以下结论成立：

1. 设是代数整数，则的共轭元也是代数整数；
2. 设是个次单位根。如果是代数整数，则或者。

根式理想与准素理想

根式理想

任给环的理想，令

可以验证是环的一个理想，并且是商环的诣零根，即

另外，直接验证可知，。

定义 称为理想的根理想(radical ideal of )。特别地，如果，则直接称是根理想。

根据根理想的定义，所有素理想，进而所有极大理想，都是根理想。事实上，任意理想的根理想都是包含该理想的素理想的交：

Radical Ideal

设是环，是的理想，则 特别地，当时有

Proof. 由于，根据环的对应定理可知为了说明上述定理只需证明

下面我们说明上式两端的相互包含关系。

一方面，如果，则，因此。另一方面，如果，则集合

是中的一个真理想族。由于，故非空。现在令是集族关于集合包含关系的一个极大元，下面说明：反证，如果而，则存在使得

这是因为若任意的都有，则，进而，但是，这与的极大性矛盾，因此一定存在使得，类似地存在使得。由此可知，然而这与相矛盾，因此或，故是素理想。于是

从而。证毕。

定义 环的 Jacobson根 (Jacobson radical) 是内所有极大理想的交，即

也记做。

当是Artin环时，因为，所以

特别地，时，。

命题 如果是Noether环，则对于任意，存在使得。特别地，存在使得。

最后给出一个关于Jacobson根的著名结论：中山引理。

Nakayama Lemma

如果是有限生成-模，且，则。

让我们先承认上述引理的正确性，则作为一个推论可知，如果有限生成，，且，则。

准素理想

定义 给定环及它的某个理想，如果，其中，且，那么存在使得，则称为的准素理想(primary ideal)。

准素理想满足以下性质：

1. 素理想都是准素理想；
2. 是准素理想当且仅当中的零因子都是幂零元；
3. 如果是准素理想，则是素理想，并且是包含的最小素理想；
4. 如果的根式理想是极大理想，则是准素理想；
5. 如果是极大理想，，则是准素理想且。

Proof. 1.是显然的。2.如果是准素的，则根据定义，时即，因此当时存在使得，即，于是。反之，若中的零因子都是幂零的，即由可得和，于是满足准素理想的定义。

3.若，则存在使得，又因为是准素理想，若，则，此即，而若，则，因此。又因为根据之前的分析对于任意的都成立，因此，即对于任意的都成立，故是包含的最小素理想。

4.根据第二条结论，只需证明中的零因子都是幂零元。根据上一小节的结论有

如果是的一个极大理想，则根据对应定理可得是中唯一的极大理想，又根据上式可知是最小的素理想，故同时作为极大理想和最小素理想是中的唯一元素。于是若是一个零因子，则，所以是一个幂零元。

5.由可知且，故。根据第四条结论即可之是准素的。

定义 给出以下一系列定义：

1. 如果是准素理想，称是的相伴素理想，同时称是-准素理想。
2. 如果中的理想是准素理想的交，则称有准素分解，亦称
   
   为的准素分解，其中是的准素理想。
3. 当理想的准素分解满足以下条件时，称该分解为极小准素分解：
   1. 对于所有的都有；
   2. 任意都有。
4. 如果理想不是不同理想的交，即若，那么或，则称是不可约理想。

Remark.

1. 准素理想的交不一定是准素理想，但是两个-准素理想的交仍然是-准素理想；
2. 根理想的交还是根理想，且。

Example.

1. 素理想都是不可约理想。
2. 考虑，的情形，此时的准素分解为

其中是的素因子分解。另外，，由此可见是-准素理想当且仅当，当且仅当。

命题 设是Noether环，则

1. 不可约理想都是准素理想；
2. 中的真理想都是不可约理想的有限交。

Proof. 1.设不可约，且。令

则且，因为是Noether环，故该理想升链稳定，存在使得。设，。令，则，其中，。又因为，故，于是，此即，所以。所以，故，因此。由于是不可约的，故或，即是准素理想。

2.令为中由全体不是不可约理想的有限交的真理想所构成的集合。若，则使用作为Noether环的极大性条件可知中存在极大元。因为不是不可约的，因此存在满足和使得。但是又因为和，所以和都是不可约理想的有限交，于是也是不可约理想的有限交，这与矛盾，因此。

引理 若和都是交换环的-准素理想，则也是-准素理想。

根据上面的命题以及引理立即得到以下结论：

Existence of Minimal Primary Decomposition

设是Noether环，则的每个真理想都有极小准素分解 且由唯一决定。

命题 设是的一个准素分解，其中，则

1. 素理想当且仅当存在，；
2. 。
3. 如果是Noether环，则包含有限多个素理想的乘积。

Proof. 1.当且仅当当且仅当存在使得，进而当且仅当。

2.因为，故。()

3.由于是Noether环，考虑非空理想集族，极大性条件保证中存在极大元，因为随着增大减小，故存在一个最小的正整数使得

因此。