Radon测度

如果拓扑空间中的任意一点都有一个紧邻域，换言之，存在一个开集和一个紧集，使得，那么称是一个局部紧(locally compact)空间。

如果拓扑空间满足第二条分离公理，即任意，存在开集，使得，，，则称是一个Hausdorff()空间。

本文中所有出现的空间都至少是局部紧的Hausdorff空间，这样的空间(Locally Compact Hausdorff Space)通常简记为LCH。

给定LCH空间，令是由上全体开集生成的Borel -代数，定义为上的值有限测度全体，通常或。在不会引起混淆的情况下，将简记为。

在测度论中已经定义了测度的全变差范数：

其中是的Jordan分解。可以验证全变差范数满足作为范数的三条公理(齐次，非负，三角不等式)，于是配备上全变差范数是一个赋范线性空间。事实上，有如下重要的结论：

关于测度的全变差范数是一个Banach空间。

紧支撑的连续函数空间上的正线性泛函

记为上有紧支撑的连续函数全体，如果其上的线性泛函满足

则称是一个正线性泛函。

现在我们定义测度的正则性，这将是刻画正线性泛函与Radon测度的关键。

给定LCH空间，称关于是

1. 外正则的(outer regular)：
   
2. 内正则的(inner regular)：
   

如果既是外正则的又是内正则的，则称是正则的(regular)。

现在我们定义本文的核心概念：Radon测度。

Radon测度 满足以下条件的Borel测度称为Radon测度：

1. 关于所有的Borel集都是外正则的；
2. 关于所有的开集都是内正则的；
3. 对于任意紧集，都有。

Motivation of Radon Measure
A common problem is to find a good notion of a measure on a topological space that is compatible with the topology in some sense. One way to do this is to define a measure on the Borel sets of the topological space. In general there are several problems with this: for example, such a measure may not have a well defined support. Another approach to measure theory is to restrict to locally compact Hausdorff spaces, and only consider the measures that correspond to positive linear functionals on the space of continuous functions with compact support (some authors use this as the definition of a Radon measure). This produces a good theory with no pathological problems, but does not apply to spaces that are not locally compact.
The theory of Radon measures has most of the good properties of the usual theory for locally compact spaces, but applies to all Hausdorff topological spaces. The idea of the definition of a Radon measure is to find some properties that characterize the measures on locally compact spaces corresponding to positive functionals, and use these properties as the definition of a Radon measure on an arbitrary Hausdorff space.
注：此处的Radon测度定义在一般的Hausdorff空间上，在本文中仅限于讨论LCH空间上的Radon测度。更一般的定义参见讨论 。

借助Radon测度，我们可以给出刻画上正线性泛函的关键定理—Riesz表示定理。

Riesz's Representation Theorem on

给定任意上的正线性泛函，存在唯一的Radon测度，使得 并且具有如下正则性：

1. 对于任意紧集都有
2. 对于任意开集都有 其中表示并且。

Proof. 证明分为存在性和唯一性两部分。首先证明稍微简单一些的唯一性，之后给出存在性的构造。

Uniqueness. 这里先假设满足定理中要求的Radon测度存在，验证这样的Radon测度至多唯一。在说明唯一性之前需要先考察一下Radon测度的性质。如果是满足()式的一个Radon测度，则对于任意的开集，根据Radon测度的定义可知关于是内正则的，即

而根据Urysohn引理，存在，，即，而且，因此

从而

又因为，所以

因此合起来有

所以其中的不等关系都是等号，于是就得到了定理中的第二条正则性

由此可见满足()式的Radon测度在开集上的值由唯一刻画，即任给这样的都有

其中是上的全体开集。因为，因此

所以。

Urysohn’s Lemma 拓扑空间是正规的（正规：给定任意不相交闭集，存在各自的邻域满足；度量空间和LCH空间都是正规的）当且仅当对于任意两个不相交的闭集，存在一个连续函数，使得，。

Existence. 下面将构造一个满足()式的Radon测度。这里的难点在于并非半环，因此之前发展的构造测度的方式无法直接使用，一种自然的想法是借助定理中给出的正则性进行构造：定义上的一个集合函数

我们将证明在上的延拓是一个Radon测度，为此需要借助上的集合函数

以及仿照外测度的构造方式定义的

存在性的证明分为以下四个步骤：

Step 1. 证明是一个外测度。根据和的构造，注意到，因此任意都有

另一方面，可以验证

A. 关于可列并封闭；
B. 是半有限的；

由以上事实可以说明，于是。是显然的，现在要说明是外测度只需验证其具有次可列可加性，又因为的定义依赖于，所以只需说明在上满足次可列可加性

现在我们记，令，。因为使得是紧集，而被的并覆盖，因此存在有限个覆盖，不妨记

现在需要对进行单位分解：

如果上述分解存在，则

从而有

下面说明唯一分解的存在性。考虑，因为是LCH的，因此存在使得

而且，因此

于是我们成功将拆成了两个紧集的并，并且，因此使用Urysohn引理可知存在使得，于是我们令

则满足，并且，。此即单位二分解，一般地可以构造出单位分解。分解的唯一性可以相对容易地验证。至此我们说明了是一个上的外测度。

Step 2. 证明所有的开集都是-可测的。为此考虑Carathéodory检验

是否对于任意的都成立。首先我们暂时限制上面的Carathéodory检验中的。此时也是开集，因此根据的定义可知任给，存在使得并且

另一方面，也是开集，因此同样存在使得满足

注意到，而且满足

又因为，因此

令上式中的可得

使用作为外测度的次可加性可以得到另一侧的不等关系，于是Carathéodory等式成立。对于一般的的情况，只需注意到，借助上面对于开集的结论说明Carathéodory等式成立。

Step 3. 证明是一个Radon测度。因为，所以实际上只需验证在上的延拓是一个Radon测度即可，我们下面将这一延拓仍然记作，验证它满足Radon测度的三条要求。首先考虑在紧集上的有界性。选取满足，构造

于是是开集，并且若，则

进而

令可知对于任意满足的都成立，所以紧集的测度都是有限的。接着验证正则性。根据的定义可知它具有外正则性，下面说明由的定义可知关于开集是内正则的。任给满足，再次使用Urysohn引理可知存在使得

于是

根据的定义可知

因此定理中的第一条正则性结论成立。现在任给，关于任意，选取使得

令。如果满足，则，进而，因为

因此。令可得

于是

因此是一个Radon测度。

Step 4. 证明()式成立。为此只需说明标准化之后的

任给，构造

可以验证

是的一个分解。令

于是根据的构造可知，所以

进而有

将上面的不等式各项关于求和可得

另一方面，如果，，那么，进而有

和

使用之前证明的关于紧集的正则性

可知

所以

结合(1)和(2)可知

令上式中的可得

这样就完成了定理的证明。

正则性与逼近定理

给定Radon测度，如果是关于的-有限集，则关于是内正则的。

上述命题有以下推论：

1. 任意的-有限Radon测度都是正则的；
2. 如果是-紧致的，则Radon测度关于是正则的；
3. 是有限Borel正则测度当且仅当它是有限Radon测度；
4. 记全体有限正则Borel测度组成的空间为，简记为，则
   

如果是上的一个Radon测度，则在中稠密，其中。

Lusin's Theorem

设是一个Radon测度，是一个-可测函数，并且在一个测度有限的集合之外函数值为0，即存在使得，则任给，都存在和满足的使得 进一步地，如果是有界的，则可以选取以满足。

Proof. 令。如果是有界的，此时，于是

注意到在中稠密，故存在使得

进而存在一个子列几乎一致收敛到，即，所以存在使得

因为，根据Radon测度的内正则性，存在紧集使得

再使用Radon测度的外正则性可知存在开集覆盖，满足

由Tietze扩张定理可知存在使得，且。

Tietze Extension Theorem 给定LCH空间上的一个紧集，以及任意定义在上的连续函数，存在满足

最后我们需要调整以使得它满足定理中的范数估计。令

于是，并且。

当无界时，令，于是单调上升到，即任给，存在使得时

并且在每一个上都是有界的，所以之前的分析对任意的都有效，所以存在使得

其中，令，则。

紧支撑连续函数空间的对偶

记为关于无穷范数的闭包，即

命题 给定LCH空间，则

特别地，当时

引理 任给，存在正线性泛函使得

Proof. 如果是非负函数，令

下面验证的有界性。因为，所以

进而有

接着验证的线性性。任给满足，则

于是

如果，令

则

进而

于是

至此我们已经验证了是一个正线性泛函。类似地可以定义并说明也是一个正线性泛函。

当是实值函数时，设，定义

首先说明上述定义的良定性。如果存在另一分解，则

于是借助前半部分证明，利用定义在非负函数空间上的的线性性可知

所以

因此定义良定。的线性性与之前的证明类似，至于有界性，只需注意到

因此。

一些文献中记由全体有限正则Borel测度组成的空间为，记为全体正则Borel测度组成的空间，配备测度的全变差范数。作为的一个子空间，自然地是一个Banach空间。

Riesz's Representation Theorem on

给定LCH空间，映射 是一个保距同构，其中。

Proof. 任给，我们有

因此，并且。现在给定，设是它的一个Hahn分解，于是

记其中的，可能不是连续的。使用Lusin定理可知，对于任意，都存在使得

其中。于是

故，于是，所以是保矩的。

又因为，根据之前的引理可知

分别对使用之前的上的Riesz表示定理可知存在Radon测度使得

其中

于是有限，故，并且。

上述定理表明，在仅有有界性的条件，即时，因为，所以存在

例如考虑，它满足，于是根据上面的结论可知存在使得任意都有

推论 如果是一个紧致Haussdorff空间，则

的紧性保证的闭包即为。

最后给出一些测度的收敛性概念。给定，我们有以下几种测度收敛：

1. 淡收敛 (vague convergence): 存在使得
   
2. 弱收敛 (weak convergence): 存在使得
   
3. 狭收敛 (narrow convergence): 存在使得
   
   其中是上有界连续函数的集合。

这三种收敛性的关系如下：

1. 弱收敛当且仅当淡收敛且
   
2. 狭收敛当且仅当弱收敛且满足消失性条件(equi-tight)。