Harmonic Analysis

Analysis on Unit Circle

设是一维单位圆周，在上面可以定义、和等空间，其中的函数都是以1为周期的周期函数。记上的全体复值Borel测度全体组成的空间为。对于任意，都可以定义与之对应的Fourier级数:

其中展开系数为

现在任给，借助可以定义一个新的测度:

于是自然地，所以的Fourier系数为

以上式中的最后一项作为的定义，于是的Fourier级数为

因为是由诱导得到的测度，因此也称右端级数为的Fourier级数。记为的Fourier级数中频率最低的个单波的部分和。

首先我们来考察一下Fourier级数的部分和性质。注意到

其中

称为Dirichlet核，于是可以写成卷积的形式：

此处的卷积定义为。这样的卷积满足以下性质：

1. Young不等式：；
2. 如果共轭，且，则通过改变一个零测集上的值，可以被连续化到中；
3. 任意都有。

更一般地，给定和，可以定义函数与测度的卷积：

可以验证

进而可以被延拓到。

另外，Dirichlet核满足以下性质：

1. 单位性：；
2. 有界性：存在常数使得；
3. 增长速度：存在常数使得。

从上面的性质其实可以看出，并不是一个单位逼近，事实上，由于与卷积的结果只是原本Fourier级数的一个生硬的截断，因此的收敛性同样而言难以保证，但是这不妨碍我们在一些较好的情况下给出一些结果。

部分和的逐点收敛性

Riemann-Lebesgue Lemma

如果，则当时。

Proof. 根据定义

注意到，我们有

因此将上式与原本定义合起来就有

当时，根据控制收敛定理(需要特别注意此时的空间要求周期性，所以这里需要特别设计周期函数版本的控制收敛定理)可知。

一般地，当时，借助稠密性定理可知，任给，存在满足。又注意到根据绝对值不等式

所以

根据之前的分析可知当足够大时，所以。由选取的任意性可知。

Riemann Localization Theorem

如果在的某一邻域内为0，则当时。

Proof. 设当时，则

注意到并不在内，因此无法直接使用Riemann-Lebesgue引理。为了解决这一问题，需要带入的紧致形式并作如下变换

可以验证其中的

于是

根据Riemann-Lebesgue引理可知。

Dini's Criterion

如果在处满足Dini条件：存在使得 则当时。

Proof. 由于具有单位性，在上的积分值为1，所以

现在我们将积分区间拆成和两部分，下面分别验证两部分都趋于0。对于第一部分，注意到

又因为当足够小时，存在使得，所以而由Dini条件可知存在使得

所以

另一方面，与Riemann局部化定理中的证明类似，构造

再次使用Riemann-Lebesgue引理可知

综上可知。

Jordan's Criterion

如果，在处满足Jordan条件：存在的邻域使得是上的有界变差函数，则