仿射代数几何初步与Gröbner基

仿射代数几何初步

定义 设是交换环，是环(可能非交换)。如果存在环同态使得的像包含于的中心，即对任意和，有，则称是一个-代数。

根据以上定义，-代数不仅具有自身的环结构，还具有-模结构，其中乘由环同态诱导：

如果代数作为环在子环上是有限生成的，则称是一个有限生成-代数。

现在考虑-代数之间的同态。给定-代数和，如果映射是一个环同态，并且保持-模结构，即对任意和，有，则称是一个-代数同态。

最重要的一类-代数是是某个域的情形，下面重点讨论域上的代数。

域上的代数

首先，考虑-代数的性质比较好的情况。如果是一个有限生成-代数，并且是交换环，根据上述定义，作为交换环在子环上是有限生成的，不妨设是一组生成元，此时是单射，因此可将视作是的子环，则根据多项式环的泛性质可知存在环的满同态

并且上述同态保持域，即对于任意的，都有。可以验证映射是一个-代数满同态，因此诱导同构

由Hilbert基定理可知多项式环是Noether环，因此商环也是Noether环，从而有限生成交换-代数都是Noether环。

仿射空间

定义 定义域上的维仿射空间(affine space)为集合

当不会引起混淆时，简记为。的坐标环(coordinate ring)为

即上的元多项式环。

现在我们引入几何对象：仿射代数集，它实际上是内一些元多项式的公共零点集。

定义 设是某一子集，定义的零点集(零轨迹，zero locus)为

如果是有限集，则记

考虑的子集合，如果存在某使得，则称是一个仿射代数集(affine algebraic set)。

仿射代数集具有以下性质：

1. 反包含：如果，则；
2. 有限生成：记为在中生成的理想，则有限生成，并且
   
3. 任意多个仿射代数集的交集仍然是仿射代数集：如果是的某一子集族，则
   
4. 有限多个仿射代数集的并集仍然是仿射代数集：如果，则
   
5. ，都是仿射代数集。

其中第二条结论依赖于是上的元多项式环，根据Hilbert基定理可知它是一个Noether环，从而其中任意理想都是有限生成的。关于第四条结论，首先需要注意与可能不同，另外根据定义容易证明，为了说明另一侧的包含关系，考虑任意的，则对于任意固定的都有

若存在某个有，则对任意成立，因此；若对于任意都成立，则；综上，，因此。其他三条结论的证明都是直接的。

根据性质二，可被视作如下理想到仿射代数集的映射：

与之对应，现在考虑另一个映射，它将仿射代数集映射到理想：

其中

可以验证确实是的一个理想，并且是在上取值为0的所有理想中的极大元。称为在中的零化理想。

零化算子满足如下性质：

1. 是根理想，即；
2. 反包含：如果，则；
3. 有限交：；
4. 。另外，如果是无限域，则。

上述两个算子与满足如下关系：

1. 如果，则；
2. 如果，则；
3. 当是一个仿射代数集时，；
4. 当是代数封闭域而时， (Hibert零点定理)。

仿射代数集

接下来分析仿射代数集上的结构。

定义 设是一个仿射代数集，定义的坐标环为

当是无限域时，，于是，因此上述定义相容于之前在整个仿射空间上的定义。

注意到如下事实：

1. 任给，可以将它限制在某个仿射代数集上得到。不难看出当且仅当，因此可以定义上的一个等价关系：当且仅当，从而是在这一等价关系下的商环，因此对于任意的，任取是在中的代表元，则可由在上的限制给出：
   
2. 是有限生成交换-代数，从而根据之前的分析可知是一个Noether环。(是元多项式环自然关于有限生成)

定义 设、都是仿射代数集。给定映射，如果存在使得

对于任意的都成立，则称是代数集到的态射。特别地，如果存在另一个态射使得，，则称是一个同构。

需要注意：给定态射，相应的多项式组的选取可能不是唯一的。

下面讨论仿射代数集之间的态射与坐标环之间的-代数同态之间的关系，主要的结论是如下定理：

Morphism and Algebra Homomorphisms

给定仿射代数集和，则存在一一对应 满足以下条件：

1. 对于任意的-代数同态，存在唯一态射使得；
2. ；
3. 是同构当且仅当是同构。

一方面，如果给定态射，则可以定义

可以验证上述映射是一个良定的-代数同态，与的选取无关。

另一方面，如果是一个-代数同态，那么记

因为是保持加法和数乘的代数同态，所以对于任意的都有

于是如果，则。由和选取的任意性可知

因此可以定义

这样的就是一个从到的态射，可以验证它与的选取无关且。

Hilbert零点定理

Hilbert's Nullstellensatz

设是代数封闭域，则 对于任意的都成立。于是与给出内根理想全体和中的仿射代数集族之间的一一对应 特别地，如果是的真理想，则。

Hilbert零点定理的证明依赖于以下Noether正规化引理：

Noether正规化引理 设是域，是有限生成-代数，则存在整数以及在上代数独立的元素使得在上整。

这一引理的证明可以通过关于使用数学归纳法完成，需要使用到整性的传递性。

在正式证明Hilbert零点定理之前，往往会先证明一个弱形式的Hilbert零点定理：

Hilbert零点定理(弱形式) 设是代数封闭域，理想是多项式环的极大理想当且仅当。特别地，如果是的真理想，则。

上述结论证明过程中需要说明是有限域扩张，其中，而在代数封闭域上整，因此。

仿射代数集上的拓扑

仿射代数集上的拓扑结构可以通过Zariski拓扑给出，这里需要使用闭集形式的拓扑结构，闭集形式的拓扑公理如下：集合上的拓扑是指满足以下条件的子集族，其中的元素称为闭集：

1. ；
2. 关于任意交封闭；
3. 关于有限并封闭。

回忆之前的讨论可以发现，仿射代数集天然满足以上三条公理，因此可以充当仿射空间内的闭集，从而指定上的拓扑结构，我们就将这一拓扑结构称为Zariski拓扑：

定义 仿射空间以其上的仿射代数集为闭集的拓扑称为Zariski拓扑。

Example. 当是，的Zariski拓扑中的闭集要么是有限集，要么是全集，此即所谓的有限补拓扑。当是无限集合时，相应的Zariski拓扑总是的，但却不是的。

定义 设是非空仿射代数集。如果对于，其中的都是仿射代数集，必有或者，则称是不可约的，否则称是可约的。不可约仿射代数集称为仿射簇。

不可约分解 设是非空仿射代数集。

1. 不可约当且仅当是素理想。换言之，是仿射簇当且仅当其坐标环是整环。
2. 可唯一表示成如下形式：
   
   其中都不可约，且对任意的都成立。

Remark. 理想的准素分解(代数)对应于代数集的不可约分解(几何)。

交换环素谱上的拓扑

之所以要研究素谱上的拓扑而非极大谱，是因为尽管在配备通常的Zariski拓扑后中的单点集都是闭集，从而有相当简单明了的构造，遗憾的是这份简单稍微有些过头以至于显得无聊，与之形成对比的是上相应的拓扑有着更丰富的结构，例如中存在非闭点，与一般的闭点相比，这些非闭点的性质更为有趣。这些原因驱使我们研究上的拓扑结构。

定义 设，，则在处的值为定义为

因此当且仅当。

定义 设是的子集。的零点集定义为素谱的子集

也即

设是的子集，的零化理想定义为环的理想

与在仿射空间上的情形类似，，因此下面只需考虑是理想的情形。根据定义可以直接验证下面的性质成立。

命题 映射和满足如下性质：

1. 给定，有和；
2. 对于任意理想，有；
3. 一般地，对于一列理想，有
   

由以上命题可知

满足闭集公理，因此可以定义上的拓扑结构，称以上面这类集合作为闭集的拓扑为素谱上的Zariski拓扑。

根据这一定义，单点集是中的闭集当且仅当

即是一个极大理想，从而是中全体闭点构成的集合。

与之前类似，可以定义上的不可约闭集，即若满足，其中都是闭集，则或者，此时称是不可约的。可以证明不可约当且仅当是素理想。

命题 映射和定义互逆双射：

上述对应将中的闭点集对应到中的极大理想，中的不可约闭集对应到中的素理想。

Gröbner基

之前已经看到，如果是域，从而是一个Noether环，则根据Hilbert基定理可知多元多项式环也是Noether环，从而其中的理想都是有限生成的。现在任给，希望寻找的一组足够好的生成元，即的Gröbner基。进一步回答将以下问题：

1. 如何判断某多项式是否属于某个？
2. 如何判断某多项式是否属于，其中？
3. 怎样判断的两个理想是否相同？

域上多元多项式环的带余除法

首先来明确一些定义：

1. 集合称为偏序集是指上存在二元关系，且该关系满足自反性、反对称性和传递性(称这样的为一个偏序)。注意：偏序集中的元素不一定可以相互比较。
2. 如果偏序集中的任意非空子集都有最小元，则称该偏序集是一个良序集。注意：区分“最小元”和“极小元”。良序集中的任意两元素可以相互比较。
3. 如果集合中的偏序“”是良序，并且与中的加法相容，即
   
   则称序关系“”是一个单项式序。
4. 给定中的一个单项式序。对于，可以将它写成如下形式
   
   定义是的首项，为的次数。如果，则称是首一多项式。
5. 以下述方式定义中的一个偏序：当且仅当或者的第一个非零分量为正。称这样的偏序为上的字典序。可以验证字典序是一个单项式序。
6. 类似地，可以定义上的另一个偏序：当且仅当，或，或但。称这样的偏序为上的次数-字典序。可以验证次数-字典序也是单项式序。

使用这些定义可以直接验证以下事实：

1. 设“”是上的一个单项式序，，如果中存在某个单项式为满足，那么令
   
   则有
   1. 当时，或者；
   2. 当时，且。
2. 设“”是上的一个单项式序，，则
   1. 若，则，；
   2. ，因此；
   3. 若，则；
   4. 。

其中第一个结论中的操作是下面将要介绍的带余除法的关键步骤，通过选取合适的，可以不断地将中的首项消去，从而逐步降低的次数。

Division with Remainder

设“”是上的一个单项式序。给定，是中的元有序多项式组，存在算法可以给出使得 并且满足

1. 模是约化的；
2. 对于任意成立。

称这样得到的为模的余数。 注意：得到的依赖于中的排列顺序。

Proof. 上述带余除法的算法在下面以伪代码的形式给出：

Algorithm: Division with Remainder

Input: , .

Output: .

Initialization: Let , for .

While is not reduced by

Find *smallest* s.t. for some monomial in ;
;
;
If , set .

End While

Return .

为了说明该定理的正确性，只需证明上述算法在有限步内终止即可：给定，，则

上述表示使用降序排列，即。记，称是以为字母表的一个文字(word)，令是上全体文字的集合，并在上采用字典序，可以验证是一个良序。如果中含有非零项，使得，则有

因此必定是约化的，而从到的过程是有限的，因此带余除法的算法在有限步内终止。又因为上述算法给出的模是约化的，而每个都是形如的多项式，因此满足定理中的要求。证毕。

Gröbner基和Buchberger算法

如上一小节最后的定理所述，使用一般的进行带余除法时，得到的余数依赖于的排列顺序，而Gröbner基的作用就是消除这种依赖性：当是的Gröbner基时，带余除法的结果与的排列顺序无关，从而这组生成元上可以比较好地刻画的结构，通过分析理想的Gröbner基之间的关系，可以判断两个理想是否相同。

Gröbner基 设是的理想，如果多项式集合生成，并且对于任意的，都存在使得，则称为的Gröbner基。

Gröbner基的判定 集合是的Gröbner基当且仅当对于任意的置换，对于任意的，模的余数为0。

使用Gröbner基进行带余除法得到的余数与排列无关 设是的Gröbner基，则对于任意，存在唯一的，模是约化的，并且。事实上，是模的余数，其中是中的任意置换。

由此我们可以回答这一节开头的第一个问题：当且仅当模的Gröbner基的余数为0。

接下来介绍如何构造的Gröbner基，为此需要先引入一个定义：

-多项式 对于，定义，其中。给定，记，，定义的首项为

以及的-多项式为

上式也可以写为

当和都是单项式时，。

引理 给定以及相应的一列单项式，令。如果

1. ；
2. 对于任意的都有；

则对于任意的，存在使得

其中的，而且

以上引理实际上给出了通过-多项式判定Gröbner基的方法，后续的Buchberger算法基于这一方式判定算法的终止时刻。

使用-多项式判定Gröbner基 集合是的Gröbner基当且仅当对于任意的，模的余数都为0。

一个简单的观察是，如果中的都是单项式，则恰好是的Gröbner基。

下一个定理是本节的核心结论。

Buchberger Theorem

给定的一组生成元，由以下Buchberger算法可以得到的Gröbner基。

Buchberger Algorithm

Input: Ideal , .

Output: Gröbner basis of : .

Initialization: Set , .

While exist () s.t.

Let ;
Update
Add to the end of ordered set : ;

End While

Return .

Proof. 同样只需说明上述算法必将在有限步内终止。注意到当时

因此在算法中，若，则

所以每经过一次循环就有

于是这样就得到了中的一条理想严格升链。由于根据Hilbert基定理，是Noether环，因此这样的升链必将长度有限，故算法在有限步内终止。证毕。

最后，来回答本节开头的问题：

1. 如何判断某多项式是否属于某个？— 求出的Gröbner基，考察模Gröbner基的余数是否为0；
2. 如何判断某多项式是否属于，其中？— 等价于判定的理想中是否包含1，于是问题转化为上一个问题。
3. 怎样判断的两个理想是否相同？— 求出两个理想的Gröbner基，记为和，则这两个理想相同当且仅当