在本文中一律是上的开集，一律是上的紧集。
在空间中，作为可积函数的逐点性质并非刻画它自身所需的本质属性，更合适的观点是将视作的对偶空间上的一个线性泛函：
这种看法的好处在于：根据理论中的讨论，可以被上述泛函完全确定，换言之，通过将作用在空间上的所有函数上，我们可以完全刻画的性质。同时不难发现，通过这种作用可以恢复出的逐点性质：通过选取，根据Lebesgue微分定理可知
所以通过将视作一个的线性泛函不仅提供了一种更具有普适性的刻画方式，同时可以保留下来传统的将视作的函数的逐点性质。
现在尝试将这种思想推广到更一般的局部可积空间上。对于，为了保证的定义合理（积分不发散），需要将定义域限制在空间上，可以验证可以视作如下线性泛函：
仿照之前的分析，同样可以从的作用恢复出的逐点性质。
现在面临的问题是：由于测试函数作为紧支撑的光滑函数性质太过完美，导致即使函数并不是局部可积的，同样有可能对于任意都是有意义的，换句话说，有许多的的线性泛函并不是由中的函数诱导出来的、形如的形式，因此这些泛函实际对应了一个比更大的空间。这一空间中的元素即为下面讨论的广义函数（generalized function）或分布（distribution）。
Baisc Spaces
在介绍广义函数之前，首先需要引入一些基本的常用函数空间。
Topological Smooth Space
Topological Smooth Space 是配备上位拓扑的上的光滑函数空间。
上述定义中的是由中的所有半范数诱导的拓扑，这里的是上的半范数，定义为
其中使用到的是中的紧集，满足
且。一种常见的选择是令
可以验证是一个Fréchet空间，即完备的局部凸拓扑向量空间。
Convergence 关于中的收敛，除了直接使用拓扑的定义外，还可以使用半范数的收敛性来刻画，通常后一种方式要更容易操作：考虑内的一列函数，如果存在使得
对于任意的和任意的紧集都成立，则称在中收敛到，记作
根据以上定义，当在内收敛到时，对于任意的都有
因此微分算子是一个连续线性算子。
另一方面，同样在当在内收敛到时，任给都有
所以乘积算子也是连续线性算子。
下面给出两个中的函数列的收敛性的例子：
- 如果，令，其中是某个磨光核，具有单位积分，则
- 再次给定，令，其中，则
Compact Support Smooth Space
Compact Support Smooth Space 是配备上归纳极限拓扑 (inductive limit topology) 的上的紧支撑光滑函数空间。
对于任意的紧集，令
因此是的闭子空间，且有
与之前类似，可以选取一列满足的紧集，要求，于是
则归纳极限拓扑可视作由上的拓扑诱导的拓扑，满足
Convergence 中的收敛性同样借助序列收敛来描述：考虑，如果存在满足
- 存在紧集使得且对于任意都成立；
- 对于任意的都有
则称在中收敛到，记作
注意：内的序列收敛要求对于“任意”紧集都成立，而内的序列收敛只需在“某个”紧集上该极限成立。
由于是一个远小于的空间，因此通常也要比更小。又因为粗略地来说，较小空间的对偶空间会反而较大，因此这里的想法是借助构造一个相比更小的，使得其对偶空间尽可能地大以囊括尽可能多的对象。
Relationship
除了上述两个空间外，另一个重要的空间是之前介绍的Schwarz空间。回忆是由内全体速降函数构成的空间，其中速降函数是满足对于任意的，存在常数使得
的光滑函数。内的序列收敛性为：在内收敛到当且仅当对于任意的，有
与和不同，Schwarz空间仅在全空间上有意义，因为速降性质对函数在无穷远处的衰减速度有要求，所以只在时有意义，有时简记为。
这三个空间之间具有如下嵌入关系：
其中上配备的拓扑是由相应的半范数诱导的拓扑，并且上述两个嵌入映射在相应的拓扑下都是连续的，换言之，序列收敛性在嵌入映射下可以得到保持：
Operators
现在考虑、以及上一些常见的算子。
- (微分算子) 在、以及上都是连续的，即
- (乘子) ，其中，在和上连续，即
但在上不一定连续，例如考虑，其中，，然而。另外，如果，可能不再是连续的。
Proof. 以中的情况为例。首先考虑微分算子。根据中的序列收敛定义，如果在中收敛到，则存在紧集使得且对于任意都成立，且对于任意的都有
自然地，对于任意的，有且对于任意都成立，另外对于任意的都有
因此在中收敛到。
下面考虑乘子算子。沿用上面的条件，则且对于任意都成立。另外，对于任意的都有
因此
因此在中收敛到。证毕。
Distribution
在调和分析初步中已经定义了的对偶空间为缓增函数空间，空间由上的连续线性泛函构成。下面我们讨论和的对偶空间。
Generalized Function
Generalized Function 是上的连续线性泛函构成的空间，其上的拓扑为它作为的对偶空间的弱*拓扑。称中的元素为广义函数或分布。
Convergence. 由于的拓扑为诱导的弱*拓扑，所以在内收敛到当且仅当对于任意的都有
将分布作用在相应的函数上记作，即。分布的加法和数乘定义为
其中。分布的加法和数乘使得成为一个线性空间。
判断上的泛函是否是一个分布的关键在于分析它是否连续，关于这一连续性的判据如下：
Criterion of Distribution
线性泛函
在
上连续，即
当且仅当对于任意的紧集
，存在
和
使得对于任意的
都有
Proof. 充分性：要求线性泛函满足定理中的条件。得益于的线性性，为了说明的连续性只需证明在处连续，为此我们需要证明
根据定义，当在中收敛到时，存在紧集使得对于任意都成立，并且对于任意的，都有，而根据定理的条件可知
因此在处连续，充分性得证。
必要性：使用反证法。现在设存在紧集，存在一列使得，并且满足
定义，于是，同样满足，并且有。将带入上式可知
进而对于任意的，令足够大，则
因此在中收敛到，然而由于连续，所以，这与的构造相矛盾，因此必要性得证。
Examples. 下面给出几个分布的例子：
- ：根据之前的分析，对于任意的，在任意的紧集上都有，于是线性泛函满足
上面使用了Hölder不等式，因此是一个分布。事实上，映射是一个单射：
唯一性 如果关于任意的都有，则在上几乎处处为0。
Proof. 构造，令为在上的零延拓，即
考虑，其中是某一磨光核，直接计算可知
要求，于是当足够大且时上式为0，进而由卷积的性质可知此时在上为0。由于，因此在上几乎处处为0，即在上几乎处处为0。
- 上的任意Radon测度：可视作线性泛函，对于任意的，有
因此是一个分布。
- 给定和多重指标，考虑线性泛函，对于任意的，有
因此是一个分布。
- 主值积分是一个分布：任给，根据主值积分的定义
直接进行估计可知
其中的，因此。
- Dirac函数：，其中，满足
因此。
尽管分布不一定是传统意义上的函数，但是有时可以假装它们是真正的函数来进行计算，这往往会简化问题的处理，例如有时可以将记作，尽管可能无法逐点求值。
Example. 广义单位逼近 给定（原本的单位逼近要求至少光滑，这里只要求可积，因此称之为“广义”单位逼近），令，于是
希望考察在中是否收敛到某个分布。注意到对于任意的，由于是在全空间上积分，因此通过进行尺度变换可知
根据控制收敛定理，当时，于是
因此在中收敛到。需注意上述分析要求在处有较好的正则性。不难看出如果进一步要求，则。
Multiplication
为了保证乘法算子将分布映到分布，这里要求有足够好的光滑性。
Proof. 线性性显然，下面说明连续性。直接使用定义可知，如果在中收敛到，则对于任意的都有，而由于，，因此，此即，因此是连续的。
如果，则无法保证的连续性。不过如果具有更好的性质，那么就算不光滑同样有可能是一个分布，例如当时，只需即可保证。
Derivative
现在介绍分布意义下的微分，它的定义本质上来自于分部积分，类似于弱导数的定义。
Distributional Derivative 设，则对于任意的，是的阶分布导数，满足
下文中“”代表使用的是古典意义下的微分，而“”代表分布意义下的微分。特别地，如果，则在时。
任意阶分布导数都存在 设，则对于任意的，。
Proof. 固定，。如果在中收敛到，根据微分算子的连续性可知在中收敛到，又因为是上的连续泛函，所以，因此
故。
接下来给出分布导数的一些性质：
- 偏导可交换：；
- 线性性：；
- 如果，，则。进一步有Leibniz法则
与上述分布导数相对应，下面给出弱导数的定义：
Weak Derivative 设，给定，如果存在使得对于任意的都有
则称
是
的
阶弱导数。
不难看出，弱导数的要求强于分布导数，因为弱导数要求和都在中，这导致弱导数的存在性相对更难保证，例如对于，它在上是一个分布，但是它的弱导数并不存在。另外，高阶弱导数的存在性无法保证低阶弱导数的存在性（考虑的高维情形）。总地来说，弱导数的性质要比分布导数稍差，但是其优势在于弱导数都是真正的函数，因此可以方便地进行逐点求值。
Example. Heaviside function 关于弱导数的一个经典的例子是分段连续函数
可以证明的一阶弱导数为Heaviside函数
并且不存在二阶及更高阶的弱导数。要说明是的弱导数只需根据定义进行验证，通过对积分区域进行分割再分别分部积分即可说明，困难主要在于说明不存在高阶弱导数，通常这需要使用反证法：如果存在是的(一阶)弱导数，则根据弱导数的定义可知
现在限制，此时，所以对于任意的都成立，根据唯一性引理这意味着在上几乎处处成立，进而在上的几乎处处成立。然而，通过选取的，可以得到，这与几乎处处成立矛盾，因此不存一阶弱导数。类似地，可以证明不存在二阶及更高阶的弱导数。
下面我们考虑在分布意义下的导数。根据定义并接着上面的分析可知
因此，进而。
上面的例子中使用到了弱导数的唯一性：
唯一性引理 给定关于任意的都有
则在上几乎处处成立。（证明直接来自于函数的唯一性定理）
Application in Linear PDE
引入阶线性微分算子
当要求时，因为微分算子和都是连续的，所以此时是将分布映到分布的连续变换。然而，在许多方程中不具有足够的光滑性，因此需要分析在更一般情形下的性质。
首先给出传统意义上方程解的定义：
古典解 给定方程，如果
- ；
- 在上逐点成立；
则称是方程的古典解。
上述定义的想法是：如果仅仅至多阶连续可微，即，其中，则当时，右端项可以保证至少具有基本的连续性，即。
遗憾的是，有时方程的古典解并不存在，这往往是因为不存在足够光滑的函数使得在上逐点成立。引入弱解可以有效地解决这一存在性问题：
弱解 给定，，如果对于任意的都有
则称方程在弱意义下成立，其中的定义来自分部积分：
上面的微分算子可以被推广为更一般的伪微分算子(pseudo-differential operator)，这类算子通常借助Fourier变换定义在缓增空间上。
事实上，有许多种方式来定义方程的解，除了上述的古典解和弱解外，还有分布解、温和解/强解等，其中分布解和弱解属于测度解，强解和古典解属于重整化解。
在数值计算领域，尤其对于某些非线性方程而言，需要寻找符合物理规律的解，在这种问题中古典解往往不存在，弱解则通常存在但是可能不唯一，于是问题变为怎样选取合适的弱解，比较常用的方式是构造守恒型格式以保证得到的数值解可以收敛到熵解或者粘性解，这两类解通常可以具有唯一性并且满足局部守恒性质。
Order
给定，如果对于某一最小的，关于任意的紧集，存在使得对于任意的都有
则称作为分布的阶数为。如果不是任意正整数阶分布，约定的阶数为无穷大。
Example. Dirac delta 的阶数为0，的阶数为：
Example. Characteristic function 给定开集，其边界是的，则局部可积函数是一个分布，并且是零阶的分布。由Gauss-Green公式可知
对上式右端进行估计可得
因此阶数为0。
Support of Distribution
回忆对于连续函数而言，它的支集为，因此总是内的某个紧集。下面定义局部可积函数的支集。给定，定义的支集为
即的支集是使得取零值的最大开集的补集，因此的支集一定是一个闭集，然而不一定是紧集。
对于分布而言，由于无法逐点求值，因此为了像上面那样定义支集首先需要说明何时分布为零：给定，如果对于任意的都有，则称为零分布。
给定，定义的支集为
其中的是指对于都有。
引理 设是内的一族开子集，如果在每一个上的限制都为零，则在上的限制也为零。
Proof. 考虑任意满足，于是要说明引理成立只需证明。记，因为作为紧集被包含在中，所以存在有限个使得，根据单位分解定理，存在满足和。令，于是，且，因此
根据条件，在上是零分布，因此，从而。
上述引理也说明了支集的定义是合理的，即分布的支集应当是使得分布取零值的最大开集的补集。接下来以Dirac分布为例说明如何计算和证明一些简单分布的支集。
Example. Dirac delta 的支集为，事实上对于任意的都有
因此。另一方面，如果，那么根据支集的定义，存在某个开集使得满足，然而根据Urysohn引理，存在满足且，于是，这与在上为零矛盾，因此。
最后定义有紧支集的分布空间为，其中的分布的支集都是紧集，即
后续将看到与同构。
Unique Representation of Zero Support Distribution
如果
的支集
，则
存在如下形式的唯一表示：
其中
是某非负整数，
。
Proof. 首先说明至多唯一性：如果上述表示存在，则至多唯一。为此只需说明
必要性：注意到对于任意的，幂函数，因此如果，那么，然而
所以，进而由选取的任意性可知对于任意的都成立。
充分性是显然的。
下面证明表示的存在性。首先使用的定义，存在紧集和，使得
现在设的阶数为。使用Taylor定理可以将任意的展开为
其中是余项，满足。于是
至此只需说明。根据Urysohn引理，存在满足
令，于是的导数大小满足，所以在时由可知
现在直接估计可知
其中第二个等号使用到了，所以，进而；第三行使用到了的定义；最后一行只用到了之前关于的估计以及Leibniz法则。这样就说明了，令就得到了
证毕。
注意到，而，因此上述定理有下述直接推论：
推论 如果关于任意的都有，则是多项式。
Example. Distributional Equation 在分布意义下考虑方程，希望寻找满足这一方程。形式上看该方程的解应当为，然而，不过联想到主值积分分布，因此首先验证确实是方程的一个解：对于任意的，直接计算可知
因此，是该方程的一个特解。注意到在中成立，因此都是方程的解。下面证明该方程的解只能形如。令，则，于是对于任意的都有
这说明，于是根据上一个定理可知
带入方程可知，因此。证毕。
Compact Support Distribution
是的对偶空间，其中的元素是上的连续线性泛函。类似于具有借助半范数和紧集给出的等价刻画，有如下等价刻画：当且仅当存在紧集，常数和使得
对于任意的都成立。
Order of distributions in
Proof. 根据定义，如果，则存在紧集，以及使得对于任意的都有
于是对于任意的紧集，如果且，那么
因此是阶分布。
Proof. 考虑如下映射：
其中是在上的延拓，满足如下要求：
- 对于任意的，；
- 对于任意的，。
接下来需要说明满足上述要求的并且这样的延拓是唯一的。
Step 1. 证明。任取满足，记，则对于任意的都有分解
其中且，因此
又因为，根据定义可知，关于紧集存在，使得
所以由Leibniz法则可知
因此。
Step 2. 映射是单射。只需注意到由可以从推出。
Step 3. 映射是满射。对于任意的，令，于是，进而根据定义可知存在紧集，，使得对于任意的都有
现在需要说明以保证。对于任意的，如果，则
从而，于是。
最后需要检验是的一个原像，为此要说明。令，于是根据的构造可知，所以。因为在中稠密，所以对于任意的，存在一列满足
于是
故。证毕。
根据以上定理，由具有紧支集的分布构成，一些地方会将这一等价刻画直接作为的定义，从而将视作的一个子空间。
必须注意的是：尽管上面的定义保证了与作为线性空间是同构的，但是如果将它们视作拓扑空间，则与并不是同胚的，这是因为可以找到一列在内收敛的分布，它们在中不收敛。最简单的例子是考虑，它的定义为，因为任意的都有紧支集，所以，因此在中。然而尽管，于是根据上面的定理，但是因为常值函数使得，这强迫在中成立，从而作为分布的极限位于之外。
The Structure Theorem
设
，
是
的某个满足
的开子集，并且
的闭包
，则存在一族连续函数
满足
使得
其中
，
是
的阶数，
是
所属欧氏空间的维数。进一步地，存在
使得
Proof. 首先需要明确可以通过零延拓被视作的一个子空间。因为，作为分布的阶数为有限的，于是存在紧集，常数使得
根据Sobolev不等式，上式可以进一步估计得到
其中。根据Sobolev空间理论(见下一节)
并且有，所以，因此对于某个常数成立。现在令，则，对该式两侧同时进行Fourier逆变换可得，其中，因此，其中的。
现在令，满足，于是，进而
其中是由倒数第二行的各项组合得到的连续函数。至此得到了
证毕。
推论 设，开集，令满足，是的阶，则存在一族连续函数使得
其中。特别地，在上有
基于以上推论，任给，都可以在上构造一组相应的连续函数使得与上式类似的关系成立：首先对进行单位分解，令是一条上升集合列，满足，与之对应有满足
在上述推论中使用这样构造的即可。
Convolution
回忆函数之间的卷积满足以下事实：令，则有
- ，；
- ；
- 设，则，其中；
- 泛函
是连续的：给定任意在中收敛到的函数列，则根据中收敛的刻画可知存在紧集，使得，因此根据上面的第一条事实可知，因此，并且
因此是连续的。
下面尝试将卷积这一工具推广到更一般的对象上。首先考虑分布与函数的卷积。
Convolution of Distribution and Function 设，，则通过如下弱形式定义的分布
同样将这一过程表示为算子形式：
，
。
不难发现，这种情况下的同样是上的一个连续线性泛函。另外，使用分部积分可知
此即。
Proof. 注意到是一个连续泛函，即当时，在内也收敛到，因此映射
也是连续的，下面说明的光滑性。使用中值定理可以验证
其中，因此
重复以上分析可知的任意阶导数都存在，因此是光滑的。
Remark. 如果将上述定理中的条件加强为，则自然仍然有，又因为，所以通过检查的支集可以发现，事实上进一步有。
自然地，下面希望验证，为此只需说明对于任意的都成立。任给，设，则通过将写成Riemann和的极限可知
又注意到
此处收敛为逐点收敛，事实上可以证明该收敛关于的任意阶偏导都是一致收敛的，因此借助紧支撑性可知上述收敛在的拓扑下成立，于是，故。
使用卷积可以给出一类经典的逼近方式。
引理（卷积逼近） 给定非负函数满足，令，则
并且
Proof. 给定任意，由函数之间卷积的性质可知一致收敛到，因此根据中收敛的定义
类似地，对于任意，，都有收敛到，所以
证毕。
Remark. 根据以上引理和之前的分析，任意的都可以被视作是一列函数在中的极限。与该结论对应，非全空间的情形下有如下定理：
设
是一个开集，对于任意的
，存在一列函数
使得
在
内收敛到
，因此
在
中稠密。
Proof. 令是一列紧集，满足，且
满足以上条件的存在，例如可以考察
现在选取，满足，且，于是
并且每一个都可以通过零延拓等同于一个全空间上的分布，即。对于每一个，选取使得
于是是良定的，并且。对于任意的，都有
因此在中收敛到。证毕。
最后，考虑最一般的情况，即分布与分布的卷积。当都是分布时，仿照函数卷积的形式：
自然的想法是与上式形式上保持一致，令(后一个尖括号是二维内积，是张量积)，为了保证这一定义方式有效，需要添加一些额外的条件，如以下正式定义所示：
Convolution of Distributions 给定，如果对于任意的紧集，集合
都是
中的紧集，则定义分布
和
的卷积为泛函
当或者是中的函数时，上述定义中的紧性条件自动满足，此时可以自然地定义，但是在的一般情况下，按照以上方式定义的不一定仍然落在中。另外，可以验证与之前类似的如下等式成立
总之，一般卷积得到对象所在空间与被卷积对象所在空间的关系如下表所示，其中涉及到分布时，卷积的唯一性和收敛性总是关于中拓扑的，当使用较小空间的拓扑时本小节中的结论可能不再成立。
| Space 1 |
Space 2 |
Convolution |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(need compactness condition) |
|
Fundamental Solutions
首先为了书写方便(去掉一些无关紧要的常数)，在此约定一些记号，记
由Fourier分析可知对于任意的都有
下面考虑如下线性常系数微分算子
其中都是常数，。对应于以上算子，根据Fourier变换的性质，可以定义的符号 (symbol) 为以下多项式
满足
对于任意的常系数线性微分算子，如果存在满足
则称是的一个基本解 (fundamental solution)。根据这一定义，是的基本解当且仅当
Remark. 一般地，称为关于算子的Poisson方程。借助上一小节的分析立即可知，如果存在关于算子的基本解，那么对于任意的右端项，当卷积存在时对应的Poisson方程在中有解：
命题 如果当时，那么若使得在中成立，则只能是一个多项式，而且在上逐点成立。
Proof. 因为，对两侧同时作Fourier变换可知。由于时，所以。使用之前的结构定理可知
两侧再做Fourier逆变换可知是一个多项式。最后，因为，所以由在中成立可知在上逐点成立。证毕。
Liouville Type Theorem
设
是一个常系数线性微分算子，当
时
，
满足
。如果存在常数
和
使得
则
是一个至多
阶的多项式。特别地，如果
满足
，则
是一个常数。
Proof. 由的条件可知，再根据之前的命题可知是一个多项式。容易验证其阶数至多为。
Example. 最后来考察Laplace算子的基本解。根据定义，在中考虑，限制在中是为了使用广义Fourier变换得到
由此可知
其中时。因为当且仅当，所以由上式可知，由结构定理可知
再做Fourier逆变换即得
其中是一个多项式。当时，，于是
Sobolev Space
给定，令
其中的为在分布意义下的导数。通过定义内积
可使得成为一个Hilbert空间。
上述定义仅适用于是非负整数的情况，为了对于任意的定义Sobolev空间，一种更加强大的方式是使用Fourier变换：根据Fourier变换关于导数的性质和Plancherel定理可知，当且仅当对于任意的都有。又因为存在使得
因此当且仅当，并且如下范数等价：
我们将最后一种刻画作为Sobolev空间的定义：
Sobolev Space 对于任意的，定义阶Sobolev空间为
并且定义
的范数为
其中
。
Duality
Duality of Sobolev Spaces
对于任意的
，
与
之间的对偶性诱导从
到
的一个保距同构。更准确地说，如果
，则
上的泛函
可以被唯一地扩展到
上的连续线性泛函，同时保持范数仍为
。
Embedding
Sobolev Embedding Theorem
Compactness
Rellich's Theorem
如果
内的一列分布
的支集都包含于同一紧集
中，并且满足
，则存在子列
在任意满足
的
中收敛。
Reference
- Folland, G. B. (1999). Real analysis: modern techniques and their applications (Vol. 40). John Wiley & Sons.
- Terence Tao. 245C-Real Analysis, Notes 3: Distributions
