半单代数与有限群表示

本文中的环均是含幺环，在不特别说明的情况下，不要求环是交换环。

一般环上的模

左模和右模 设是含幺环，给定加法Abel群。如果存在左乘映射

满足

1. 恒等元：.
2. 分配律：，.
3. 结合律：.

则称是一个左-模。类似地，如果存在右乘映射

满足

1. 恒等元：.
2. 分配律：，.
3. 结合律：.

则称是一个右-模。

在不会引起混淆的情况下，我们通常省略数乘的点号，直接写作或。

反环 设是环，令在集合意义上具有与相同的元素，配备与相同的加法，定义其中的乘法为

则也是一个环，称为的反环。

不难验证有以下结论成立：

1. 是交换环当且仅当；
2. ；
3. 若是域上的代数，则同样是上的代数 (回忆-代数的要求是自身是一个环，并且嵌入映射的像落入的中心)；
4. 是左-模当且仅当是右-模。

双模 设是环，是加法Abel群。如果同时是左-模和右-模，并且满足相容性条件

则称是一个-双模，简记为。

Example. 最简单的双模的例子是正则双模；当给定环同态时，也是一个双模，其中的数乘定义为，后者的乘法是环中的乘法。

子模 设是左-模，是的子集。如果是的加法子群，并且关于中的数乘封闭，即对于任意，都有，则称是的一个子模。称和为的平凡子模。

单模 如果非零模没有非平凡子模，则称是一个单模。

商模 设是左-模，是的子模。在商群上通过定义数乘

得到的模称为关于的商模。

模的同态与同构

模同态 设是-模，如果映射是加法群同态，且对于任意，都有，则称是一个模同态。特别地，当同态是单射、满射或双射时，分别称是一个单同态、满同态或同构。

对应于交换环上模的情形，一般的非交换环上同样有模的同构基本定理和对应定理：

模的同构基本定理 同构基本定理是构造模同构的基本工具，包含三个常用的结论：

1. (第一同构定理) 设是-模同态，则是模的子模，是模的子模，且诱导-模同构
   
2. (第二同构定理) 若是-模的子模，则存在-模同构
   
3. (第三同构定理) 若是-模的子模，且，则存在-模同构
   

接着，与环的对应定理类似，我们有：

模的对应定理 设是左-模，是的子模，是自然商映射，则存在一一对应关系

相应的逆映射为。进一步地，当且仅当。

下面给出群表示论中的第一个重要结论—Schur引理：

Schur Lemma

单模间的任意非零同态都是同构。

Proof. 设是单模间的非零同态，则一方面保证是的真子模，因为是单模，所以，故是单射；另一方面，是的子模，再次使用单模的性质可知，故是满射。综上，是同构。

在继续上述讨论之前，先延续一般的传统约定一些记号：设都是左-模，记为到的-模同态全体，记为到自身的-模同态全体。通过在中定义加法

构成一个加法群 (但是一般情况下不是-模，这与是交换环时的情形不同)，相应地是的一个加法子群。再在中定义乘法

则构成一个环，称为的自同态环。于是Schur引理的一个直接推论如下：

推论 若是单模，则是一个可除环，即任意非零元都有逆元。

另一个重要的观察是，映射

是一个模同构，该映射的逆映射是，其中。这个同构的重要性在于，它将模与-模同态联系起来，从而将模的研究转化为同态的研究。

直和与直积

最后，为了给出直和与直积的定义，先要引入模的和的概念：设是-模，是的一族子模，定义它们的和为

直和与直积 设是一族-模，定义它们的直和为

定义它们的直积为

同样与交换环的情形类似，直和与直积具有如下刻画：

1. 上述定义中的是有限集，则直和与直积相同；
2. 若是的子模，则是直和，即当且仅当；
3. 考虑自然投影映射

则是一个满同态，并且满足泛性质：如果对于任意的都给定一个模同态，则存在唯一的模同态使得，即下图交换。称满足这一泛性质的为从到的典范投射。

直积的泛性质

4. 考虑自然嵌入映射

则是一个单同态，并且满足泛性质：如果对于任意的都给定一个模同态，则存在唯一的模同态使得，即下图交换。称满足这一泛性质的为从到的典范嵌入。

直和的泛性质

群的表示

从现在开始，不加说明的情况下默认是一个域，是一个群。

群环 给定群和域，定义

其中配备加法

以及乘法

关于上述加法和乘法构成一个环，称为群在域上的群环 (group ring)。

根据以上定义可以发现：

1. (-代数) 群环是一个-代数；
2. (交换性) 群环是一个交换环当且仅当群是交换群；
3. (幺环) 群环是一个有单位元的环，单位元为，其中是Kronecker记号。
4. (线性空间) 群环是以为基的-线性空间，因此作为线性空间的维数有限当且仅当是有限群。

基于上述第四条观察可以得到以下引理：

有限生成-模 设是有限群，是一个-模，则自然地成为一个-线性空间，并且是有限生成的-模当且仅当是有限维-线性空间。

Proof. 由于是-模，自身具有加法群结构，而中的乘自然蕴含自身的-线性性，并诱导如下乘

其中是群中的单位元，是乘，因此是-线性空间。下面说明有限生成的条件等价于有限维的条件。

如果是有限生成的-模，则存在有限个元素使得对于任意，都有，其中。根据之前的分析，是有限群保证了是有限维的-线性空间，所以每个都可以表示成

所以对于任意，都有

因此，故是有限维的-线性空间。

另一方面，如果是有限维的-线性空间，设是的一组基，任意都可以表示成，其中，所以，故是有限生成的-模。

线性表示

线性作用 设是-线性空间，如果群在上的群作用对于任意的，，都满足

则称该作用是一个线性作用。

现在引入一个新的记号：给定-线性空间，定义上全体可逆线性变换的全体构成的集合为，不难分析是的自同态环的单位群。与群作用的关系由如下重要的命题给出：

命题 在上的全体线性作用组成的集合与从到的群同态全体构成的集合之间存在一一对应关系。

Proof. 给定在上的一个线性作用，它诱导出一个从到的群同态

其中是上的一个线性变换，满足。反之，给定一个从到的群同态，定义，则这样就得到了在上的一个线性作用。

线性表示 设是群，是-线性空间，称是的-线性表示，或简称为的-表示，其中的是一个群同态，定义该表示的维数为-线性空间的维数。

借助之前的分析，线性表示有如下刻画：

命题 设是有限群，是域，则以下集合之间存在一一对应关系：

1. 的有限维-表示集合；
2. 配备上线性作用的有限维-线性空间全体；
3. 有限生成-模的全体。

Proof. 上一个命题给出了前两个集合之间的对应关系，下面说明前两个集合与第三个集合之间的对应关系。一方面，如果是一个有限生成的-模，则根据之前的分析可知是一个有限维的-线性空间，并且

是在上的一个线性作用，其中的乘法由乘给出。另一方面，对于有限维-表示，定义数乘

则成为一个-模，并且因为是有限群可知是有限生成的。

表示的唯一性 设是有限群，是域。设和都是的有限维表示，则以下条件等价：

1. 和作为有限生成-模同构；
2. 存在可逆-线性变换使得
   
3. 存在可逆-线性变换使得
   
   其中和分别表示在和上的线性作用。

矩阵表示 设是有限群，是域，是-线性空间，正整数。如果是一个群同态，则称是的一个维矩阵表示，其中的是上的可逆矩阵全体构成的阶一般线性群。对于维矩阵表示和，如果存在可逆矩阵使得

则称矩阵表示和同构。

矩阵表示是最重要的线性表示之一，事实上，任意有限维表示都可以通过矩阵表示来描述：

有限维表示的矩阵表示 设是有限群，是域，则的全体维表示同构类构成的集合与的维矩阵表示同构类全体之间存在一一对应关系。

Proof. 令是上的维线性空间。一方面，因为，所以矩阵表示自然是线性表示。另一方面，如果是一个维表示，设是的一组基，任给，令是线性变换在基下的矩阵，即

则是一个从到的群同态，于是是的一个矩阵表示。如果使用另一组基，则将得到一个等价的矩阵表示。

基于以上讨论，可以看出有限群的-表示具有如下三种等价定义：

Representation of Finite Group

有限群的-表示有如下三种等价刻画：

1. ：有限维-线性空间配备上群同态；
2. ：有限维-线性空间配备上的线性作用；
3. ：有限生成-模；

下面不再区分这三种刻画，统一称之为的-表示。进一步地，给出如下定义：

1. 如果是的-子模，或者等价地说，在上的线性作用对于封闭，即对于任意的都成立，则称是的一个子表示；
2. 如果作为-模是单模，则称表示是一个不可约表示。

重要例子

Example. 接下来给出一些常见的表示：

1. 平凡表示：对于任意群，都有一个平凡表示，其中
   
   上式中的是上的恒等变换。显然，平凡表示是不可约的。更进一步可以证明，任意的一维表示都是不可约表示。
2. 置换表示：设是群作为集合的有限子集，令
   
   定义
   
   则是的一个-表示，维数为，称为置换表示。如果使用标准定义，相应的群同态为
   
   其中是上的可逆线性变换，满足，这里的为群作用。当时，置换表示称为正则表示，因此群环实际上就是的正则表示。
3. 模同态：设和是的-表示，则是-线性空间。对于，定义
   
   则上述是在上的线性作用，故是的-表示。特别地，称是的对偶表示，记作。
4. 张量积：同样设和是的-表示，则也是-线性空间。考虑映射
   
   则是-双线性映射，根据张量积的泛性质，它诱导如下-线性映射
   
   现在定义
   
   则这是在上的一个线性作用，因此是的一个-表示。

关于对偶表示，我们有如下重要的结论：

对偶表示 设是的-表示，则有自然的同构

其中。

本节的最后，给出一个重要的定理：

Maschke Theorem

设域的特征为0，或者与的阶互素。考虑的任意-表示，如果是的真子表示，则存在子表示，使得。换言之，的任意-表示的子表示都是直和项。

Proof. 因为是的真子表示，存在是-线性空间之间的一个投射(是恒同映射)。对进行相似变换，构造

由可知，即是从到的一个-线性映射，因此上述映射良定。又因为是投射，故对于任意都有，进而，于是是恒同映射。特别地，是满射。而作为-线性空间，是的真子空间，所以有直和分解

下面只需证明是的子表示即可，这等价于说明是-模同态，即证对任意的和都有，为此只需要直接验证：

这样就说明了是的子表示，从而定理得证。

半单代数

将个模的直和简记为。

半单模

半单模 若模是单模的直和，则称是半单模。

通过反复使用Maschke定理可知，如果域的特征为0或者与群的阶互素，则的任意非零-表示都是不可约表示的直和，因此任意有限生成非零-模都是半单模：通过选取的任意非零-表示的任意不可约子表示，Maschke定理保证存在使得，再关于中的某不可约子模继续进行相同的操作，得到，如此反复下去，最终得到的一个直和分解，其中每个都是不可约表示。

从现在开始，下面出现的均是有限维-代数，使用到的所有-模都是有限生成的，从而是有限维的线性空间。

引理 设是有限生成-模，则以下断言等价：

1. 的任意子模都是的直和项；
2. 是半单模；
3. 是它的单子模的和。

Proof. 1 2: 若是的某一单子模，则根据1.可知存在使得，再考虑中任意单子模，同样存在使得，于是

其中使用到了。如此反复下去，最终得到的直和分解，其中每个都是单子模，从而是半单模。

2 3 是显然的。下面说明3 1：设是的子模，因为是有限生成-模，从而是有限维线性空间，所以它的任意子模也都是有限生成的，于是是Noether模，从而集族中存在极大元，记为。接下来要说明，根据的构造，为此只需说明。反证：如果，考虑到是一些单子模的和，所以存在某单模使得，于是作为单模的某一真子模只能为零，进而，但是这说明，这与的极大性矛盾，所以。

子模与商模 半单模的子模和商模都是半单模。
Proof. 设是半单模的某一子模，则存在使得，于是，因此是半单模当且仅当商模是半单模。下面说明商模是半单模。根据定义，存在半单模，其中都是单模，考察自然映射，于是

又因为是单模，要么是，要么是，于是与同构或者为0，所以

是一些单模的和，根据上一个引理可知是半单模。

半单代数 若-代数的任意非零-模都是半单模，则称是一个半单代数。

Example. 当是有限群，的特征为或与的阶互素时，根据Maschke定理可知的群环是半单-代数。

判定引理 是半单代数当且仅当正则-模是半单模。

Proof. 根据定义，必要性是显然的。充分性：如果是半单模，则对于任意的正整数，自由模也是半单模，而任意的有限生成-模都是的商模，所以也都是半单模。

半单代数的单模 设是半单代数，根据之前的讨论正则模是半单模，设它有单模直和分解，其中的都是单模，则任意单-模都同构于其中的某个。

Proof. 设是单模，取，考虑

注意到是的非零子模而是单模，故是一个满同态。将限制在上得到，则至少存在一个使得不是零同态。根据Schur引理可知是同构，因此。

单模分解的唯一性 设是半单代数的所有非同构单模的集合，如果-模满足

则其中的是唯一确定的。(上式中的视作个的直和)

Proof. 设是两个分解之间的同构映射，考虑下图中由与诱导的:

其中与由直积和直和的泛性质给出。因为当时，单模和之间只有零同态，使用直积和直和的泛性质可知 (如果存在非零的，则存在

是单模到的非零同态，进而根据Schur引理是一个同构，但是这与和是不同构的单模矛盾)，因此

又因为是同构，所以是与之间的同构，比较两者的维数可知。

可除代数

可除代数 如果可除环是-代数，则称是一个-可除代数。

如果是一个-可除代数，则上的阶矩阵环也是一个-代数。令

是上的维列向量空间，则自然地是一个-模，其上的乘即为矩阵向量积。

现在约定一些记号：记是仅处元素为1，其他元素为0的基本矩阵，令

则是对换处与处元素的置换矩阵。令是第个标准基向量，。

Semisimple Algebra & Division Algebra

设是可除代数，则环是半单代数，单-模均同构于，正则模是半单模。

Proof. 证明分为两部分：

Step 1. 是单-模。设是的任意非零子模，若非零，则存在某个，于是。又因为，因此，故，所以是单-模。

Step 2. 是半单代数。对于任意的，令是中在第列外全为零的矩阵构成的集合，则是的一个子模，且，进而

其中的都是单-模，故正则模是半单模。根据之前的分析，是半单代数，且任意单-模均同构于某个，进而同构于。

单代数 如果代数只有平凡的双边理想，即作为环是一个单环，则称是一个单代数 (simple algebra)。

引理 单代数都是半单代数。

Proof. 设是一个单代数，令是的所有单子模之和。如果是的单子模，，则，是模的满同态，使用的单性可知或者，因此总有，即是的双边理想。又因为是单代数且，因此有，于是根据上一小节的引理可知是一个半单模，进而是一个半单代数。

Simple Algebra & Division Algebra

设是可除代数，则环是单代数。

Proof. 为了说明是单代数，只需证明任意非零矩阵生成的双边理想都是，从而只有平凡双边理想。为此，只需证明对于任意的都有。设，且存在某个，于是

一般地我们有

因此中包含所有的基本矩阵，故，即是单代数。

引理 代数的反代数与它的自同态代数同构，即

Proof. 考虑任意的，令，则对任意的有，即，这说明映射

满足：

1. 是中的单位元；
2. ；
3. ；()
4. 是保持代数结构的双射；

因此是一个代数同构，故。

引理 设是某个域上的有限维代数，则

1. 设是单-模，则是可除代数，且；
2. 如果是互不同构的单模，，，则

Proof. 1.因为是单模，根据Schur引理可知内的非零同态都是同构，因此都可逆，故是可除代数。下面，将视作维列向量空间。构造如下映射

其中，每个分量，定义它在下的像满足下述类似矩阵向量乘的关系：

上面定义的是上的自同态，于是良定。下面说明是双射。

单射：若，即，则对于任意的都成立，选取，则对于任意成立，故。类似地可以说明的其他列也都是零，因此，是单射。

满射：考虑任意的，对于任意的，令

其中的。令，则，因此是满射。

2.记。对于任意的，令为如下交换图诱导的映射：

即满足

仿照之前的分析，当时，，因此

其中的，根据上一条结论可知，因此。

引理 若是一个代数封闭域，是有限维-代数，是单-模，则。

Proof. 若，取作为有限维线性空间上的线性映射的任意特征值，于是具有非零核，从而不是同构，于是根据Schur引理可知，即，由此定义的映射

是到的代数同构。

上述引理说明了-代数的单模对应的自同态代数内的元素均形如。

引理 。

Proof. 考虑映射

于是自然是一个保持加法的双射，下面验证保持乘法。令，，于是直接计算可知

因此是一个代数同构。

Wedderburn's Theorem

代数是半单代数当且仅当 其中的都是可除代数。

Proof. () 因为都是半单代数，而半单代数的直和也是半单代数。

() 代数是半单代数当且仅当正则模是半单模，根据之前的分析存在如下分解

其中是互不同构的单模。于是

其中的是可除代数。最后，使用上一个引理可知

又因为可除代数的反代数仍然是可除代数，因此定理的结论成立。

命题 设是半单代数，是的所有单子模同构类的一族代表元，则也是半单代数，它的单子模同构类代表元为

Proof. 以的情况为例，对于一般的只需递推地分析即可。
设是的子模，视，，令，则是的子模，且。另一方面，考虑任意的，由关于乘法的封闭性可知

于是。综上，，故的子模有且仅有形如的子模，所以的单子模都形如或者，其中的分别是的单子模。根据半单代数的等价刻画，半单代数是它们各自的单子模之和，故同样也是它的单子模之和，进而也是半单代数。

接下来说明当分别为的单子模时，和不同构。反证：若存在-模同构，则存在使得，然而直接计算可知

矛盾。综上，的单子模同构类代表元都形如或者。

推论 设是半单代数，则的单子模同构类有且仅有个。令为的唯一单子模，则是的单子模同构类代表元，其中

故总是的倍数，且当是代数封闭域时，。

Application：. 现在将以上结论应用到的特殊情况：由于是一个特征为0的代数封闭域，在是有限群时群环是一个半单有限维-代数，由前面的引理可知

其中的是任意单-模。仿照Wedderburn定理的证明，因为半单，所以

进而

所以就有

有上一个推论可知，的单子模同构类有且仅有个，是的唯一单子模，且由于是代数闭域，所以，于是，进而

直接比较上式两侧作为-线性空间的维数可得

最后，使用作为半单代数的定义，的任意-表示作为-模都是半单模，因此有唯一分解

其中的可被唯一确定。将以上结论总结成如下定理：

-Algebra

设是有限群，作为-代数，且 恰有个单模同构类。若令是这个单模同构类的一族代表元，其中是平凡表示，则 因为，故。另外与满足 任何的-表示均有唯一分解

进一步地，上述定理中的等于群中的共轭类个数：令为的中心，则

根据矩阵理论可知

所以，。

另一方面，设是的全体共轭类。如果，则由可知对于任意的都成立，因此对于，是常值，于是

又因为上述形式的总是属于的，因此是以

为基的维-线性空间，故，于是等于的共轭类个数。