Laplace Transform and its Inversion

Laplace Transform

给定一个函数定义在

上的函数

，其Laplace变换定义为

其中

是复变量。

为了保证上述定义中积分的收敛，通常要求满足某些增长条件，例如一个经常使用的必要条件是要求

在时的增长速度不超过指数级，即存在常数和使得
的取值满足 (这样的的取值集合通常称为变换的收敛域)。

在以上条件成立时，我们可以进一步得到

并且事实上还可以证明在的半平面内是一个解析函数。

通过直接计算可以得到一些常用函数的Laplace变换，例如常数函数的Laplace变换为

其他的常见函数及其Laplace变换参加下面的表格：

原函数	像函数	收敛域 (ROC)
(单位冲激)		全复平面
(单位阶跃)
(斜坡函数)
()

这些变换的证明基本上都可以通过直接计算积分或分部积分得到。

Properties

这一部分我们将总结一些Laplace变换的基本性质，包括线性性质、时域平移、频域平移、尺度变换、微分与积分性质、卷积定理以及初值定理和终值定理等。

线性性 由定义式可以直接看出Laplace变换是线性的，即对于任意常数和以及函数和，都有

时域平移 (延迟) 如果已知函数的Laplace变换为，则对于任意，直接计算可知

频域平移 (衰减) 如果已知函数的Laplace变换为，则对于任意，直接计算可知

尺度变换 如果已知函数的Laplace变换为，则对于任意，直接计算可知

时域微分 如果已知函数的Laplace变换为，使用分布积分可得

更一般地，对于阶微分，我们有

这一性质在求解常系数线性微分方程时非常有用，它可以将微分方程转化为代数方程，从而极大地简化求解过程。

时域积分 如果已知函数的Laplace变换为，使用分布积分可得

频域微分 如果已知函数的Laplace变换为，使用分布积分可得

卷积定理 如果已知函数和的Laplace变换分别为和，则它们的卷积定义为

直接计算可得

初值定理 如果函数在时的极限存在，则有

终值定理 如果函数在时的极限存在，并且在的半平面内没有极点，则有

初值定理与终值定理的重要意义在于它们允许我们避免计算繁琐且困难的Laplace逆变换，直接从中判断系统在“开始时刻”和“最终稳定时刻”的行为。

下面的表格总结了本节的主要内容：

性质	时域	频域
线性性质
时域平移
频域平移
尺度变换
时域微分
时域积分
频域微分
卷积定理
初值定理
终值定理		(需极点在左半平面)

Fast Forward Laplace Transform

在数值上计算Laplace变换通常需要计算如下离散Laplace变换：

其中和分别是时间域和频率域上的指定离散点，而取决于函数在时间点上的取值以及网格对应的积分权重。这一计算过程可被写为以下矩阵-向量乘法的形式：

其中矩阵，因此直接计算上述矩阵-向量乘法的时间复杂度为，当和较大时计算成本较高。这一小节介绍[2]中提出的一种基于Laguerre函数的快速计算Laplace变换的方法，该算法可以在 flops内完成上述计算。

Laguerre函数的定义为

其中是阶Laguerre多项式，满足如下三项递推关系

它是一族定义在上的正交多项式系，满足以下伸缩公式

自然地，Laguerre函数也满足类似的伸缩公式

这一公式的作用在于将自变量中的乘积解耦为函数值的线性组合。特别地，当时上述公式退化为

注意到，因此上面的级数在时指数收敛。基于上述伸缩公式，我们进一步有

又因为根据二项式定理

因此我们最终有

以上公式是Strain在[2]中提出的用于快速计算Laplace变换的核心公式。

首先注意到在时快速收敛，因此我们首先需要通过放缩将原本的映射到比较靠近的位置上。具体地，我们将原本采样点所在的半实轴分割为一系列指数增长的区间

其中是一个放缩参数（用以平衡算法的效率与精度），区间的中心记为，于是当时就有

类似地也对目标点所在的半实轴进行同样的分割，得到类似的区间和中心。为了简单起见，可以令的放缩参数与的相同。现在注意到

记其中的内层求和为，即

现在我们可以直接使用公式来计算，得到

其中是上述级数截断后的误差项。注意到上述求和中的内层求和

只需的计算量，而有采样点落入区间至多只有个，因此计算所有的的总计算量为。之后该算法遍历所有包含有的区间，对每个区间计算

其中且

于是我们需要的计算量来计算出所有包含有的区间的上述求和，其中和分别是包含有采样点与目标点的区间和的数量。计算出这些后，我们就可以通过来计算出所有的，这一步的复杂度为，从而整个算法的总计算复杂度为，当、和相对于和较小时，该算法的复杂度近似为。

关于算法的更多细节与误差分析请参见原文献[2]。

一些注记.

如果与的分布比较均匀，需要调整放缩参数以保证每个区间和中包含有足够的采样点与目标点，以此使得与相对于和较小，从而保证算法的效率。但是此时误差可能会有所上升，这是这一算法的一个潜在缺点。
除了这里介绍算法外，另一种可用的算法由Rokhlin在[3]中给出。

References

Cohen A M. Numerical methods for Laplace transform inversion. Springer Science & Business Media, 2007.
Strain J. A fast Laplace transform based on Laguerre functions. Math.Comp, 1992, 58(197): 275-283.
Rokhlin V. A fast algorithm for the discrete Laplace transformation. Journal of Complexity, 1988, 4(1): 12-32.