Volterra Integral Equations

考虑如下形式的Volterra积分方程：

其中，是三角形区域上的一个给定核函数。下面介绍几种常用来求解此种问题的数值方法。

Collocation Method

REFERENCES
Shen, Jie, Tao Tang, and Li-Lian Wang. Spectral methods: algorithms, analysis and applications. (2011) Section 5.1

配点法的思路非常直接：选定一组配点，要求找到一个多项式使得在这些配点处满足方程，即

然而由于方程中的积分是变上限的，这样的形式不利于构建离散的方程，为了对于近似点值建立线性系统进行求解，我们需要先使用变量代换来将上式的变上限积分转化为固定的上的积分。令

其中而，于是原方程变为

对应的配点方程为

下一步我们需要建立插值矩阵，使用配点网格上的值进行插值来近似，从而将上式中的积分转化为一个矩阵-向量乘积。设

是以配点网格上的Lagrange基函数为基底的插值多项式，则

接下来将上面的表达式代入配点方程中得到

我们可以把这一表达式写为矩阵形式：

其中是第个标准基向量，，。将对应的方程合起来，我们就得到了一个线性系统

其中

一般需要通过数值积分来计算，常用的数值积分方法包括高斯-勒让德积分和Clenshaw-Curtis积分等，因此矩阵的构建复杂度依赖于核函数的光滑性以及数值积分方法的效率，通常复杂度为，其中是计算积分使用的点的数量(相比于一般无法忽略)。

通常实际计算中为了兼顾计算效率与数值稳定性会将配点选为Gauss点，此时基函数可被相应的正交多项式表示，例如当使用Legendre-Gauss配点时，可以将上述积分中的Lagrange基函数表示成Legendre多项式展开的形式：

其中当使用Legendre-Gauss与Legendre-Gauss-Radau配点时，，而当使用Legendre-Gauss-Lobatto配点时，，对于。

最后我们可以通过求解上述线性系统来得到近似解。由于矩阵通常是满矩阵，这类方法的总体复杂度为，其中是配点的数量。

Chebfun目前使用此类方法来求解Volterra积分方程，具体实现细节可以参考Chebfun的文档和源代码。

Olver’s Method

REFERENCES
Gutleb, Timon S., and Sheehan Olver. A sparse spectral method for Volterra integral equations using orthogonal polynomials on the triangle. SINUM (2020).

Olver的方法的核心思想是将Volterra积分方程中的核函数在三角形区域上展开成一组适当的正交多项式的级数，再将需要积分的原本定义在一维区域上的函数表示成一个同样定义在三角形区域上的二维函数，要求

再将使用同样的三角区域上的正交基展开，最后再将原方程中的积分转化为一个矩阵-向量乘积。为了完成这一套操作，Olver引入了以下几个算子：

1. 延拓算子：将定义在上的函数延拓为定义在三角形区域上的函数，要求。
2. 乘积算子：将定义在三角形区域上的函数乘以核函数得到一个新的函数。
3. 积分算子：对定义在三角形区域上的函数关于第二个变量进行积分得到一个新的函数。这里的是一个权重矩阵，是一个积分矩阵，二者的乘积可以看作是一个离散化的积分算子。

通过上述三个算子，我们可以将原方程中的积分项转化为一个矩阵-向量乘积，从而得到一个线性系统来求解近似解。

为了表示定义在三角形区域上的函数，Olver使用了Koornwinder多项式作为正交基：

其中是Jacobi多项式。对于任意定义在三角形区域上的函数，我们可以将其展开成Koornwinder多项式的级数：

通过定义

我们可以将上述函数展开写为

此处包含了所有全阶数(关于的阶数与关于的阶数之和)为的Koornwinder多项式，是对应的系数向量，而是包含了所有阶数的Koornwinder多项式系数的列向量。我们使用三角形角标表示该向量是三角形区域上展开的系数向量。

Olver在这篇文章中的主要工作是构造这组基下的算子、和的矩阵表示，最终将原方程中的积分转化为

于是以为核函数的Volterra积分算子在这组正交基下就有以下无限维矩阵表示：

由此我们可以将原方程离散为

求解就得到了近似解的系数向量。