Radial Basis Function Approximation

REFERENCES
Adcock, Ben, Daan Huybrechs, and Cecile Piret. Stable and accurate least squares radial basis function approximations on bounded domains. SINUM (2024).

径向基函数(Radial Basis Function, RBF)是一类以空间中点的距离为变量的基函数，其形式为，这里的称为空间中的一个中心点(center)，称作求值点(evaluation point)，范数刻画空间中点与点之间的距离。径向基函数逼近需要先选定一个固定的母函数，再使用这一函数在空间中的平移和缩放来构造出一个函数空间，最后在这个函数空间中寻找一个函数来逼近目标函数，得到一个形如

的逼近式，其中是选定的中心点，是一个缩放参数，称为RBF的形状参数(shape parameter)，是需要求解的权重系数。

由于这种逼近方法只需要通过一个固定函数的平移和放缩的线性组合就可以构造逼近函数，因此即使是在复杂区域和高维空间中仍然具有很强的适应性和灵活性，能够处理不规则分布的数据点，在处理高维空间中的插值和逼近问题时具有独特的优势。

然而如此强的灵活性导致RBF在数值实现上具有严重的缺陷，目前通用的算法普遍面临的主要困难是使用RBF得到的线性系统一般是极度病态的，如果不加处理的话直接求解得到的解将完全不可用。更进一步的讲，通常使用较小的形状参数会带来更高的逼近精度，但同时也会导致线性系统的条件数急剧增加，从而引入数值不稳定性，而相对大的导出的系统则更稳定但逼近精度较差。本文将简单总结一些这方面的改善策略。